考研数学三（常微分方程与差分方程）模拟试卷41
填空题
1.微分方程y’＋ytanx＝cosx的通解为________．
y＝(x＋C)cosx
解析：由通解公式得
2.微分方程(y＋x3)dx－2xdy＝0满足y|x＝1＝6／5的特解为________．
[*]
解析：把原微分方程整理得
y’＝y／2x＝x2／2．
此方程为一阶线性微分方程.通解为
把y｜x＝1代入通解得C＝1.所以特解为
故应填
解答题
有一平底容器，其内侧壁是由曲线x＝φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图所示).容器的底而圆的半径为2m，根据设计要求，当以3m3/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2/min的遠率均匀扩大(能设注入液体前，容器内无液体)．(注：m表示长度，单位米:min表示时间.单位分.)
3.根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为
πφ2(y)＝4π＋πt，
从而t＝φ2(y)－4.
解析：
4.求曲线x＝φ(y)的方程.
液面的高度为y时，液体的体积为
π∫0yv(u)φ2(u)du＝3t＝3φ2(y)－12.
上式两边对y求导，得πφ2(y)＝6φ(y)φ’(y).即πφ(y)＝6φ’(y).
解此微分方程，得φ(y)＝Ceπy／6，其中C为任意常数.由φ(0)＝2知C＝2.故所求曲线方程为x＝2eπy／6．
解析：
5.设曲线L的极坐标方帮为r＝r(θ)，M(r，θ)为L上任一点，M0(2，0)为L上一定点，若极径OM0，OM与曲线L.所围成的曲边扇形面积值等于L上M0、M两点间弧长值的一半，求曲线L的方程．
由已知条件得
[*]
两边对θ求导得[*]
因为[*]，所以－arcsin(1／r)＋C＝±θ.由条件r(0)＝2，知C＝π／6，
故所求曲线L的方程为
[*]
亦即直线[*]
解析：
6.求微分方程(3x2＋2xy－y2)dx＋(x2－2xy)dy＝0的通解.
令u＝y／x，则
[*]
解之得u2－u－1＝Cx－3，即y2－xy－x2＝Cx－1(或xy2－x2y－x3＝C).
解析：
7.求微分方程
令z＝y／x，则dy／dx＝z＋xdz／dx
当x＞0时，原方程化为
[*]
其通解为
[*]
代回原变量，得通解y＋[*]＝C(x＞0).
当x＜0时，原方程的解与x＞0时相同.
解析：
8.求方程x(lnx－lny)dy－ydx＝0的通解.
将原方程改写为[*]，此为齐次方程.
令u＝y／x，则dy／dx＝u＋xdu／dx，方程化为－lnu(u＋xdu／dx)－u＝0.
分离变量得[*]
即[*]，等式两端积分得lnu－ln(1＋lnu)＋lnC＝－lnx，
从而(1＋lnu)／u＝Cx．
故所求通解为1＋lny－lnx＝Cy.
解析：
9.求微分方程
设y／x＝u.则dy／dx＝xdu／dx＋u，原方程变为
xdu／dx＋u＝u＋tanu，即du／dx＝tanu／x．
分离变量得cotudu＝dx／x，积分得sinu＝Cx，故方程通解为sin(y／x)＝Cx.
解析：
10.求齐次方程y’＝x／y＋y／x满足y|x＝1＝2的特解.
令y／x＝u，则原方程变为u＋xdu／dx＝1／u＋u，即udu＝dx／x，积分得
u2／2＝lnx＋C.
将u＝y／x代入上式，得通解y2＝2x2(lnx＋C).
由y|x＝1＝2知C＝2，故特解为
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