考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编20

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编20

选择题

1.设

(A)

A. 合同且相似．

B. 合同但不相似．

C. 不合同但相似．

D. 不合同且不相似．

解析：因为A为实对称矩阵，且易求出A的特征值为λ₁=4，λ₂=λ₃=λ₄=0，所以必有正交矩阵P，使得

P^—1AP—P^TAP=

2.设矩阵A=(B)

A. 合同，且相似．

B. 合同，但不相似．

C. 不合同，但相似．

D. 既不合同，也不相似．

解析：由A的特征方程

｜λE一A｜=

3.设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程

(B)

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

解析：由图形知该二次曲面为双叶双曲面，其标准方程为

λ₁x’²—λ₂y’²—λ₃z’²=1，

其中λ_i＞0(i=1，2，3)，由于用正交变换化成的标准方程中各变量平方项的系数为A的特征值，故A的特征值为：λ₁＞0，一λ₂＜0，一λ₃＜0，因此A的正特征值的个数为1．

4.设二次型f(x₁，x₂，x₃)在正交变换x=Py下的标准形为2y₁²+y₂²—y₃²，其中P=(e₁，e₂，e₃)．若Q=(e₁，e₂，e₃)，则f(x₁，x₂，x₃)在正交变换x=Qy下的标准形为(A)

A. 2y₁²—y₂²+y₃²．

B. 2y₁²+y₂²—y₃²．

C. 2y₁²—y₂²—y₃²．

D. 2y₁²+y₂²+y₃²．

解析：设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e₁，e₂，e₃是矩阵A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，1，一1．即有

Ae₁=2e₁，Ae₂=2e₂，A₃=2₃

从而有

AQ=A(e₁，—e₃，e₂)=(Ae₁，—Ae₃，Ae₂)一(2e₁，—(—e₃)，e₂)

=(e₁，—e₃，e₂)

矩阵Q的列向量e₁，—e₃，e₂仍是A的标准正交的特征向量，对应的特征值依次是2，一1，1．矩阵Q是正交矩阵，有Q^—1=Q^T，上式两端左乘Q^—1，得

Q^—1AQ=Q^TAQ=

5.设二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+4x₁x₂+4x₁x₃+4x₂x₃，则f(x₁，x₂，x₃)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为(B)

A. 单叶双曲面．

B. 双叶双曲面．

C. 椭球面．

D. 柱面．

解析：二次型f(x_{1本文档预览：3000字符，共16880字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载}