考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编18
选择题
1.矩阵
(B)
A. a=0，b=2．
B. a=0．b为任意常数．
C. a=2，b=0．
D. a=2，b为任意常数．
解析：B为对角矩阵，B的特征值为其主对角线元素2，b，0．若A与B相似，则由相似矩阵有相同的特征值，知2为A的一个特征值，从而有
由此得a=0．当a=0时，矩阵A的特征多项式为
2.设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是(C)
A. AT与BT相似．
B. A—1与B—1相似．
C. A+AT与B+BT相似．
D. A+A—1与B+B—1相似．
解析：由已知条件知，存在可逆矩阵P，使得P—1AP=B……(1)．
由(1)两端取转置．得PT、AT(PT)—1=BT，可见AT与BT相似，因此选项A正确：
由(1)两端取逆矩阵，得P—1A—1P=B—1……(2)，可见A—1与B—1相似，因此选项B正确：
将(1)与(2)相加，得P—1(A+A—1)P=B+B—1，可见A+A—1与B+B—1相似，因此选项D正确．故只有选项C错误．
3.已知矩阵A=
(B)
A. A与C相似，B与C相似．
B. A与C相似，B与C不相似．
C. A与C不相似，B与C相似．
D. A与C不相似，B与C不相似．
解析：本题要判别3阶矩阵A，B是否与3阶对角矩阵C相似的问题，易知这3个矩阵具有相同的特征值2，2，1，它们都有一个2重特征值2．利用结论：方阵A与对角矩阵相似的充要条件，是A的每个重特征值对应的线性无关特征向量的个数正好等于该特征值的重数．因此问题归结为齐次线性方程组(2I—A)x=0的基础解系是否含2个向量、亦即矩阵2I—A的秩是否为1的问题．由
4.下列矩阵中，与矩阵
相似的为
(A)
A.
B.
C.
D.
解析：记矩阵A=
5.与矩阵D=
相似的矩阵是
(C)
A.
B.
C.
D.
解析：A与对角矩阵D相似→A的特征值为λ1=λ2=l，λ3=2，且A的对应于2重特征值1的线性无关特征向量的个数为2．后一条件即方程组(E—A)X=0的基础解系含2个向量，即3一r(E—A)=2，或r(E一A)=1，经验证，只有备选项C中的矩阵满足上述要求．
6.n阶方阵A有n个两两不同特征值是A与对角矩阵相似的(B)
A. 充分必要条件．
B. 充分而非必要的条件．
C. 必要而非充分条件．
D. 既非充分也非必要条件．
解析：
7.设A、B为同阶方阵，则A与B相似的充分条件是(D)
A. 秩(A)=秩(B)．
B. ｜A｜=｜B｜．
C. A、B有相同的特征多项式．
D. A、B有相同的特征值λ1，λ2，…，λn且λ1，λ2，…，λn两两不同．
解析：当n阶方阵有n个互不相同特征值时，它也相似于对角矩阵．故在选项D的条件下．存在适当的可逆矩阵P、O，使P—1AP=D，Q—1PQ=D，其中D=diag(λ1，λ2，…，λn)为对角矩阵．故有P—1AP=Q—1BQ，→QP—1APQ妒—1=B，→(PQ—1)—1A(PQ—1)=B，记矩阵M=PQ—1
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