考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编9

考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编9

选择题

1.(11)设A=(α₁，α₂，α₃，α₄)是4阶矩阵．A^*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)^T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A^*x=0的基础解系可为(D)

A. α₁，α₃．

B. α₁，α₂．

C. α₁，α₂，α₃．

D. α₂，α₃，α₄．

解析：首先，4元齐次线性方程组A^*x=0的基础解系所含解向量的个数为4-r(A^*)，其中r(A^*)为A^*的秩，因此求r(A^*)是一个关键．其次，由Ax=0的基础解系只含1个向量，即4-r(A)=1，得r(A)=3，于是由r(A^*)与r(A)的关系，知r(A^*)=1，因此，方程组A^*x=0的基础解系所含解向量的个数为4-r(A^*)=3，故选项(A)、(B)不对．再次．由(1，0，1，0)^T是方程组Ax=0或x₁α₁+x₂α₂+x₃α₃+x₄α₄=0的解，知α₁+α₃=0，故α₁与α₃线性相关，于是只有选项(D)正确．

2.(15)设矩阵A=，若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为

(D)

A.

B.

C.

D.

解析：对方程组的增广矩阵施行初等行变换(化成阶梯形)：

3.(05分)设λ₁，λ₂是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α₁，α₂，则α₁，A(α₁+α₂)线性无关的充分必要条件是(B)

A. λ₁≠0

B. λ₂≠0

C. λ₁=0

D. λ₂=0

解析：由λ₁≠λ₂及特征值的性质知α₁，α₂线性无关．显然，向量组{α₁，A(α₁+α₂)}={α₁，λ₁α₁+λ₂α₂}等价于向量组{α₁，λ₂α₂}．当λ₂≠0时，它线性无关，当λ₂=0时，它线性相关，故α₁，A(α₁+α₂)线性无关

填空题

4.(01)设方程组

-2

解析：对方程组的增广矩阵作初等行变换：

由此可见：

(1)当a≠1且a≠-2时，r(A)==3，方程组有唯一解；

(2)当a=1时，r(A)=1，=2，方程组无解；

(3)当a=-2时，r(A)=

5.(02)矩阵A=

4

解析：由A的特征方程

=λ(λ-4)

解答题

6.(97)λ取何值时，方程组

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