考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编10

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编10

选择题

1.设A为n阶方阵，且A的行列式｜A｜=a≠0，而A^*是A的伴随矩阵，则｜A^*｜等于(C)

A. a

B. —C. a^n—1

D. a

解析：由AA^*=｜A｜E两端取行列式，得｜A｜｜A^*｜=｜A｜ⁿ，因｜A｜=a≠0，得｜A^*｜=｜A｜^n—1=a^n—1．

2.设n阶方程A、B、C满足关系式ABC=E，其中E是n阶单位阵，则必有(D)

A. ACB=E

B. CBA=E

C. BAC=E

D. BCA=E

解析：因为ABC=E，即A(BC)=E，故方阵A与BC互为逆矩阵，从而有(BC)A=E．即BCA=E．

3.设

(C)

A. AP₁P₂=B

B. AP₂P₁=B

C. P₁P₂A=B

D. P₂P₁A=B

解析：矩阵B可以看作由矩阵A依次进行下列两次初等行变换得到的：把A的第1行加到第3行上去，再把所得矩阵的1、2两行互换．这两次初等变换对应的初等方阵分别为题中给的矩阵P₂和P₁，于是由“对矩阵A施行初等行变换相当于给A左乘相应的初等方阵”，即知(C)正确．

4.设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C，则满足AQ=C的可逆矩阵Q为

(D)

A.

B.

C.

D.

解析：记交换单位矩阵的第1列与第2列所得初等矩阵为E(1，2)，记将单位矩阵第2列的k倍加到第3列所得初等矩阵为E(3，2(k))，则由题设条件，有

AE(1，2)=B，BE(3，2(1))=C，

故有 AE(1，2)E(3，2(1))=C，

于是得所求逆矩阵为

Q=E(1，2)E(3，2(1))=

5.设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A^*，B^*分别为A，B的伴随矩阵，则(C)

A. 交换A^*的第1列与第2列得B^*．

B. 交换A^*的第1行与第2行得B^*．

C. 交换A^*的第1列与第2列得一B^*．

D. 交换A^*的第1行与第2行得一B^*．

解析：记P为交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等方阵，则由题设条件有B=PA，且｜B｜=一｜A｜，P^—1=P．由A可逆知B可逆，利用B^—1=｜B｜^—1B^*，得

B^*=｜B｜B^—1=一｜A｜(PA)^—1=—(｜A｜A^—1)P^—1=一A^*P

或 A^*P=一B^*

因为用P右乘矩阵A^*，等价于交换A^*的第1列与第2列，故知选项(C)正确．

6.没A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的一1倍加到第2列得C，记P=(B)

A. C=P^—1AP．

B. C=PAP^—1．

C. C=P^TAP．

D. C=PAP^T．

解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P．由初等变换与初等矩阵的关系，有B=PA．令矩阵

则将E的第1列的一1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C=BQ，从而有C=PAQ．由于

P^—1=

7.没A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A³=O，则(C)

A. E—A不可逆，E+A不可逆．

B. E—A不可逆，E+A可逆．

C. E—A可逆，E+A可逆．

D. E—A可逆，E+A不可逆．

解析：由于(e一A)(E+A+A²)=E—A³=E，(E+A)(E—A+A²)=E+A³=E，

故由可逆矩阵的定义知：E—A和E+A均是可逆的．

8.设A，B均为2阶矩阵，A^*，B^*分别为A，B的伴随矩阵．若｜A｜=2，｜B｜=3，则分块矩阵本文档预览：3000字符，共16106字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载