考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编13

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编13

选择题

1.设α₁=(C)

A. α₁，α₂，α₃．

B. α₁，α₂，α₄．

C. α₁，α₃，α₃．

D. α₂，α₃，α₄．

解析：用排除法：当c₁≠0时，(A)组、(B)组都线性无关；当c₃+c₁≠0时，(D)组线性无关．因此，只有选项(C)正确．

2.设A，B，C均为n阶矩阵．若AB=C，且B可逆，则(B)

A. 矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．

B. 矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．

C. 矩阵c的行向量组与矩阵B的行向量组等价．

D. 矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．

解析：因为矩阵B可逆，所以B可以表示成若干个初等矩阵之积．而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换．经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价．所以选(B)．

3.设α₁，α₂，α₃均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α₁+kα₃，α₂+lα₃线性无关是向量组α₁，α₂，α₃线性无关的(A)

A. 必要非充分条件

B. 充分非必要条件

C. 充分必要条件

D. 既非充分也非必要条件

解析：记向量组(Ⅰ)：α₁+kα₃，α₂+lα₃；

向量组(Ⅱ)：α₁，α₂，α₃．

(Ⅰ)是由(Ⅱ)线性表出的，写成矩阵形式即是：

[α₁+kα₃，α₂+lα₃]=[α₁，α₂，α₃]

当(Ⅱ)线性无关时，矩阵[α₁，α₂，α₃]为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵

4.设咒阶方阵A的秩为r，且r＜n，则在A的n个行向量中(A)

A. 必有r个行向量线性无关．

B. 任意r个行向量均可构成极大线性无关组．

C. 任意r个行向量均线性无关．

D. 任一行向量均可由其它r个行向量线性表示．

解析：

5.向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，…，α_m线性无关的充分条件是(Ⅰ)中(C)

A. 每个向量均不是零向量．

B. 任意两个向量的分量都不成比例．

C. 任一向量均不能由其余m一1个向量线性表示．

D. 有一部分向量线性无关．

解析：

6.设m×n矩阵A的秩r(A)=m＜n，E为m阶单位阵，则(C)

A. A的任意m个向量必线性无关．

B. A的任意一个m阶子式都不为0．

C. 若BA=O，则B=O．

D. 经初等行变换，可将A化为(E_m｜O)的形式．

解析：由BA=O知A的每个列向量均为齐次线性方程组Bx=0的解向量，因r(A)=m，知A的列向量组的极大无关组含m个向量，故方程组Bx=0的基础解系至少含m个解向量，即m一r(B)≥m，→r(B)≤0，→r(B)=0，→B=O．故(B)正确．注意当r(A)=m＜n时，要将A化为标准形，仅仅通过初等行变换是不行的，还要对A作初等列变换，才能化成标准形，故(D)不对。

7.设有两组n维向量α₁，α₂，…，α_m与β₁，β₂，…，β_m，若存在两组不全为零的数λ₁，λ₂，…，λ_m和k₁，k₂，…，k_n，使(λ₁+k₁)α₁+…+(λ_m+k_m)α_m+(λ₁一k₁)β₁+…+(λ_m一k_m)β_m=0，则(B)

A. α₁，…，α_m和β₁，…，β_m都线性相关．

B. α₁+β₁，…，α_m+β_m，α₁一β₁，…，α_m一β_m线性相关．

C. α₁，…，α_m和β₁，…，β_m都线性无关．

D. α₁+β₁，…，α_m<

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