考研数学三（线性代数）模拟试卷141

考研数学三（线性代数）模拟试卷141

选择题

1.设A、B均为n阶非零矩阵，且AB=O，则A与B的秩( )(B)

A. 必有一个为零

B. 均小于n

C. 一个小于n，一个等于n

D. 均等于n

解析：因A≠O，B≠O，故r(A)≥1，r(B)≥1．又AB=O

2.设有向量组α₁=(1，－1，2，4)，α₂=(0，3，1，2)，α₃=(3，0，7，14)，α₄=(1，－2，2，0)，α₅=(2，－1，5，10)．则该向量组的极大无关组是( )(B)

A. α₁，α₂，α₃

B. α₁，α₂，α₄

C. α₁，α₂，α₅

D. α₁，α₂，α₄，α₅

解析：由下列矩阵的初等行变换：A=[α₁^T…α₅^T]

3.设α₁=(a₁，a₂，a₃)^T，α₂=(b₁，b₂，b₃)^T，α₃=(c₁，c₂，c₃)^T．则3条平面直线a₁x+b₁y+c₁=0，a₂x+b₂y+c₂=0，a₃x+b₃y+c₃=0(其中a_i²+b_i²≠0，i=1，2，3)交于一点的充分必要条件是( )(D)

A. α₁，α₂，α₃线性相关

B. α₁，α₂，α₃线性无关

C. 秩r(α₁，α₂，α₃)=秩r(α₁，α₂)

D. α₁，α₂，α₃线性相关，而α₁，α₂线性无关

解析：题设3条直线交于一点联立线性方程组xα₁+yα₂+α₃=0有唯一解(x，y)^T．由该非齐次线性方程组有唯一解(α₁，α₂)=r(α₁，α₂，－α₃)=2

填空题

4.

aⁿ+(－1)ⁿ⁺¹+bⁿ．

解析：

5.设A=

-3．

解析：在条件下必有|A|=0(否则|A|≠0，则A可逆，用A^－1左乘AB=O两端，得B=O，这与B≠O矛盾)，

6.设矩阵B=

4．

解析：由条件知存在可逆矩阵P，使P^－1AP=B，P^－1(A－2E)P=P^－1AP－2E=B－2E，即A－2E与B－2E相似，故有r(A－2E)=r(B－2E)

同理得r(A－E)=r(B－E)

7.若向量组α₁=(1，1，λ)^T，α₂=(1，λ，1)^T，α₃=(λ，1，1)^T线性相关，则λ=_______．

1或－2．

解析：由行列式|α₁ α₂ α₃|=－(λ－1)²(λ+2)=0，

8.设λ₁，λ<

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