考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编15
选择题
1.(01年)曲线y=(x-1)2(x一3)2的拐点个数为(C)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
解析：y’=2(x一1)(x一3)2+2(x-1)2(x一3)=4(x一1)(x一3)(x一2)
y\\
2.(01年)已知函数f(x)在区间(1一δ，1+δ)内具有二阶导数，f’(x)严格单调减少，且f(1)=f’(1)=1，则(A)
A. 在(1一δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜x．
B. 在(1一δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞x．
C. 在(1一δ，1)内，f(x)＜x，在(1，1+δ)内，f(x)＞x．
D. 在(1一δ，1)内，f(x)＞x,在(1，1+δ)内，f(x)＜x．
解析：由拉格朗日中值定理知．
f(x)一f(1)=f’(ξ)(x一1) (ξ介于1与x之间)
又f(1)=f’(1)=1,f’(x)在(1-δ，1+δ)严格单调减少，则
当x∈(1一δ．1)时，f(x)-1＜1.(x-1) 即 f(x)＜x．
当x∈(1，1+δ)时．f(x)一1＜1.(x-1) 即 f(x)＜x.
所以应选(A)．
3.(01年)已知函数y=f(x)在其定义域内可导，它的图形如图2．3所示，则其导函数y=f’(x)的图形为
(D)
A.
B.
C.
D.
解析：由f(x)的图形可以看出．当x＜0时，f(x)严格单调增，则当x＜0时，f’(x)＞0；因此(A)(C)肯定不正确．因此只能在(B)和(D)中选，又由f(x)图形可看出当x＞0时，f(x)由增变减再变增，因此在x＞0处，f’(x)由正变负再变正．由f’(x)的图形可看出应选(D)．
4.(02年)没函数f(u)可导，y=f(x2)当自变量x在x=一1处取得增量△x=一0．1时，相应的函数增量△y的线性主部为0．1，则f’(1)=(D)
A. 一1
B. 0．1
C. 1
D. 0．5
解析：由以上分析知
0．1=y’(一1)△x
而
y’(一1)=f’(x2).2x|x=1=一2f’(1),△x=一0.1
代入上式得 0．1=一2f’(1)×(一0．1)
由此可得 
5.(02年)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导．则
(B)
A.
B.
C.
D.
解析：由拉格朗口中值定理得f(2x)-f(x)=f’(ξ)x，(x＜ξ＜2x)，则
=f’(ξ)
由于f(x)有界，则
6.(03年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有
(C)
A. 一个极小值点和两个极大值点．
B. 两个极小值点和一个极大值点．
C. 两个极小值点和两个极大值点．
D. 三个极小值点和一个极大值点．
解析：如图，从导函数图形可知，f(x)只在x=x1，x=x2，x=x3处导数为零．而在x=0处导数不存在，则f(x)只可能在这四个点取得极值．而f(x)在x=x1和x=0两点的导数都是由正变负，则f(x)在这两点处取极大值：而f(x)在x=x2和x=x3两点的两侧导数都是由负变正，则f(x)在这两点处取极小值，故应选(C)．
7.(04年)设f(x)=|x(1-x)|，则(C)
A. x=0是f(x)的极值点，但(0．0)不是曲线y=f(x)的拐点．
B. x=0不是f(x)的极值点，但(0，0)是曲线y=f(x)的拐点．
C. x=0是f(x)的极值点，且(0，0)是曲线y=f(x)的拐点．
D. x=0不是f(x)的极值点，(0，0)也不是曲线y=f(x)的拐点．
解析：由f(x)=|x(1一x)|知f(0)=0，而在x=0的去心邻域内f(x)＞0，则f(x)在x=0处取极小值，又
8.(04年)设函数f(x)连续。且f’(0)＞0，则存在δ＞0，使得(C)
A. f(x)在(0，δ)内单调增加．
B. f(x)在(一δ，0)内单调减少．
C. 对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0)．
D. 对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0)．
解析：
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