考研数学三（线性代数）模拟试卷140

考研数学三（线性代数）模拟试卷140

选择题

1.设对方阵A施行初等初换得到方程B，且|A|≠0，则( )(C)

A. 必有|B|=|A|．

B. 必有|B|≠|A|．

C. 必有|B|≠0．

D. |B|=0或|B|≠0依赖于所作初等变换．

解析：

2.设A、B、A+B、A^－1+B^－1均为n阶可逆阵，则(A^－1+B^－1)^－1=( )(C)

A. A^－1+B^－1

B. A+B

C. A(A+B)^－1B

D. (A+B)^－1

解析：由(A^－1+B^－1)[A(A+B)^－1B]=(E+B^－1A)(A+B)^－1B=B^－1(B+A)(A+B)^－1B=B^－1B=E，或A(A+B)^－1B=[B^－1(A+B)A^－1]^－1=(B^－1AA^－1+B^－1BA^－1)^－1=(B^－1+A^－1)^－1=(A^－1+B^－1)^－1即知只有C正确．

3.设α₁，α₂，…，α_m均为n维向量，则( )(B)

A. 若k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=0，则α₁，α₂，…，α_m线性相关．

B. 若对任意一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_m，都有k₁α₁+k₂α₂+…k_mα_m≠0，则α₁，α₂，…，α_m线性无关．

C. 若α₁，α₂…，α_m线性相关，则对任意一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_m，都有k₁α₁+k₂α₁+…+k_mα_m。=0．

D. 若0α₁+0α₂+…+0α_m=0，则α₁，α₂，…，α_m线性无关．

解析：

4.已知β₁，β₂是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α₁，α₂是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k₁，k₂为任意常数，则方程组Ax=b的通解(一般解)是( )(B)

A. k₁α₁+k₂(α₁+α₂)+B. k₁α₁+k₂(α₁－α₂)+C. k₁α₁+k₂(β₁+β₂)+D. k₁α₁+k₂(β₁－β₂)－解析：注意α₁，α₁－α₂亦为Ax=0的基础解系，而1／2(β₁+β₂)为Ax=b的一个特解．由通解的结构即知B正确．

5.(A)

A. 合同且相似．

B. 合同但不相似．

C. 不合同但相似．

D. 不合同且不相似．

解析：A的特征值为4，0，0，0，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使P^－1AP=P^TAP=B，即A与B既合同又相似．

填空题

6.

n!(2－n)．

解析：从第j列提出公因子j，再将第j列的(－1)倍加到第1列(j=2，3，…，n)，则化成了上三角行列式．

7.设3阶方阵A、B满足关系式A^－1BA=6A+BA，其中A=

[*]

解析：B=(A^－1－E)^－16AA^－1=6(A^－1－E)^－1

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