考研数学三（线性代数）模拟试卷145

考研数学三（线性代数）模拟试卷145

选择题

1.设4阶方阵A的行列式|A|=0，则A中( )(C)

A. 必有一列元素全为0．

B. 必有两列元素对应成比例．

C. 必有一列向量是其余列向量的线性组合．

D. 任一列向量是其余列向量的线性组合．

解析：

2.设向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，…，α_r可由向量组(Ⅱ)：β₁，β₂，…，β_s线性表示，则( )(D)

A. 当r＜s时，向量组(Ⅱ)必线性相关．

B. 当r＞s时，向量组(Ⅱ)必线性相关．

C. 当r＜s时，向量组(Ⅰ)必线性相关．

D. 当r＞s时，向量组(Ⅰ)必线性相关．

解析：由条件知秩(Ⅰ)≤秩(Ⅱ)，而秩(Ⅱ)≤s，故秩(Ⅰ)≤s，当r＞s时，有秩(Ⅰ)≤s＜r，故(Ⅰ)必线性相关．

3.设A，B为同阶方阵，则A与B相似的充分条件是( )(D)

A. 秩(A)=秩(B)．

B. |A|=|B|．

C. A与B有相同的特征多项式．

D. A、B有相同的特征值λ₁，λ₂，…，λ_n，且λ₁，λ₂，…，λ_n两两不同．

解析：在选项D的条件下，存在适当的可逆矩阵P、Q，使P^－1AP=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)=Q^－1BQ，QP^－1APQ^－1=B，

填空题

4.方程f(z)=

1，2，3．

解析：利用范德蒙行列式得f(z)=(2－1)(3－1)(x－1)(3－2)(x－2)(x－3)．

5.设矩阵A=

[*]

解析：

6.设α=(1，0，－1)^T，矩阵A=αα^T，n为正整数，a为常数，则|aE－Aⁿ|=_______．

a²(a－2ⁿ)．

解析：Aⁿ=(αα^T)(αα^T)…(αα^T)=α(α^Tα)…(α^Tα)α^T=α₂^n－1α^T

7.设α₁，α₂，α₃均为3维列向量，记矩阵

A=(α₁，α₂，α₃)，B=(α₁+α₂+α₃，α₁+2α₂+4α₃，α₁+3α₂+9α₃)

如果|A|=1，则|B|=_______．

2．

解析：利用矩阵乘法，可将B写为

两端取行列式，得

8.设a_ib_i≠0(i=1，2，…，n)，则矩阵

1．

解析：

9.已知方程组

－1．

解析：

可见，Ax=b无解

10.曲线2x²－xy+4y²=1的名称是_______．

椭圆．

解析：二次型2x²－xy+4y²的矩阵

解答题

11.设实对称矩阵A满足A²=O，证明：A=O．

A²=AA^T=O的(i，i)元素为：0=[*]a_ij²，[*]a_ij=0(i，j=1，2，…，n)，即A=O．

解析：

12.已知AP=PB，其中

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