考研数学三（线性代数）模拟试卷143

考研数学三（线性代数）模拟试卷143

选择题

1.设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，变换A的第1行与第2行得矩阵B，A^*，B^*分别为A，B的伴随矩阵，则( )(C)

A. 交换A^*第1列与第2列得B^*

B. 交换A^*第1行与第2行得B^*

C. 交换A^*第1列与第2列得－B^*

D. 交换A^*第1行与第2行得－B^*

解析：记交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得初等方阵为P，则有PA=B，|B|=－|A|，P^－1=P．且由A可逆知B可逆．于是由B^*=|B|B^－1，得B^*=－|A|(PA)^－1=－(|A|A^－1)P^－1=－A^*P，或A^*P=－B^*，再由初等列变换与初等方阵的关系知，交换A^*的第1列与第2列得－B^*，因此选项C正确．

2.若向量组α₁，α₂，α₃线性无关；α₁，α₂，α₄线性相关，则( )(C)

A. α₁必可由α₂，α₃，α₄线性表示．

B. α₂必不可由α₁，α₃，α₄线性表示．

C. α₄必可由α₁，α₂，α₃线性表示．

D. α₄必不可由α₁，α₂，α₃线性表示．

解析：由部分组与整体组线性相关性的关系，知α₁，α₂线性无关，而α₁，α₂，α₄，线性相关，

3.非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则( )(A)

A. r=m时，方程组Ax=b有解．

B. r=n时，方程组Ax=b有唯一解．

C. m=n时，方程组Ax=b有唯一解．

D. r＜n时，方程组Ax=b有无穷多解．

解析：当r=m，即m×n矩阵A的行向量组线性无关时，增广矩阵A=[Ab]的m个行向量也线性无关，即知有r(A)=r(

填空题

4.

1－a+a²－a³+a⁴－a⁵．

解析：先把第2，3，4，5行都加至第1行，再按第1行展开，得D₅=1－aD₄，一般地有D_n=1－aD_n－1(n≥2)，并应用此递推公式．

5.设A为n阶方阵，且|A|=a≠0，则|A^*|=_______．

a^n－1．

解析：由AA^*=|A|E两端取行列式，得

|A||A^*|=|A|ⁿ，

6.设A=

[*]

解析：由于A²

A⁴=(A²)²=E，A²⁰⁰⁴=(A⁴)⁵⁰¹=E⁵⁰¹=E，

故B²⁰⁰⁴－2A²=p^－1A²⁰⁰⁴P－2A²=E－2A²

7.设3阶方阵A的特征值λ₁，λ₂，λ₃互不相同，α₁，α₂，α₃依次为对应于λ₁，λ₂，λ₃的特征向量，则向量组α₁，A(α₁+α₂)，A²(α₁+α₂+α₃)线性无关的充分必要条件是λ₁，λ₂，λ₃满足_______．

λ₂λ₃≠0．

解析：设k₁α₁+k₂A(α₁+α₂)+k₃A

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