考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编18

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编18

选择题

1.下列矩阵中，与矩阵相似的为( )

(A)

A.

B.

C.

D.

解析：1 记矩阵A=，记4个选项中的矩阵分别为A₁，A₂，A₃，A₄．若矩阵A与矩阵A_k相似，则矩阵A－E与矩阵A_k－E相似，从而矩阵A－E与矩阵A_k－E有相同的秩，容易求出矩阵A－E，A₁－E，A₂－E，A₃－E，A₄－E的秩依次为2，2，1，1，1，故选项B、C、D都不对，只有选项A正确．

2 仍沿用解1的记号，则

可以求出可逆矩阵

2.设矩阵

(B)

A. 合同，且相似．

B. 合同，但不相似．

C. 不合同，但相似．

D. 既不合同，也不相似．

解析：由A的特征方程

|λE－A|

3.设A=，则在实数域上与A合同的矩阵为( )

(D)

A.

B.

C.

D.

解析：1 记D选项中的矩阵为D，则由

|λE－A|

=λ²－2λ－3=(λ－3)(λ+1)，

|λE－D|

=λ²－2λ－3=(λ－3)(λ+1)

知A与D有相同的特征值3与－1，它们又都是实对称矩阵，因此存在正交矩阵P与Q，使P^TAP==Q^TDQ，QP^TAPQ^T=D，或(PQ^T)A(PQ^T)=D，其中PQ^T可逆，所以A与D合同．

2 由于|A|=|D|=－3＜0，因此实对称矩阵A的两个特征值异号(D亦是)，从而知二次型x^TAx及二次型x^TDx有相同的规范形z₁²－z₂²，从矩阵角度讲，就是存在可逆矩阵C₁，C₂，使C₁^TAC₁=

4.设二次型f(x₁，x₂，x₃)在正交变换x=Py下的标准形为2y₁²+y₂²－y₃²其中P=(e₁，e₂，e₃)．若Q=(e₁，－e₃，e₂)，则f(x₁，x₂，x₃)在正交变换x=Qy下的标准形为( )(A)

A. 2y₁²－y₂²+y₃²．

B. 2y₁²+y₂²－y₃²．

C. 2y₁²－y₂²－y₃²．

D. 2y₁²+y₂²+y₃²．

解析：设二次型的矩阵为A，则由题意知矩阵P的列向量e₁，e₂，e₃是矩阵A的标准正交的特征向量．对应的特征值依次是2，1，－1．即有

Ae₁=2e₁，Ae₂=2e₂，Ae₃=2e₃

从而有

AQ=A(e₁，－e₃，e₂)

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