考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编14

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编14

选择题

1.设向量组α₁，α₂，α₃线性无关，则下列向量组中，线性无关的是( )(C)

A. α₁+α₂，α₂+α₃，α₃－α₁

B. α₁+α₂，α₂+α₃，α₁+2α₂+α₃

C. α₁+2α₂，2α₂+3α₃，3α₃+α₁

D. α₁+α₂+α₃，2α₁－3α₂+22α₃，3α₁+5α₂－5α₃

解析：显然A组线性相关(第3个向量是前2个向量的差)；B组也线性相关(第3个向量是前2个向量的和)；对于C组，设有一组数x₁，x₂，x₃，使得

x₁(α₁+2α₂)+x₂(2α₂+3α₃)+x₃(3α₃+α₁)=0

即(x₁+x₃)α₁+(2x₁+2x₂)α₂+(3x₂+3x₃)α₃=0

因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以

解得此齐次方程组只有零解x₁=x₂=x₃=0，故C组线性无关．由于矩阵

2.设向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_m线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α₁，α₂，…，α_m－1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α₁，α₂，…，α_m－1，β，则( )(B)

A. α_m不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．

B. α_m不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．

C. α_m可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．

D. α_m可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示．

解析：由题设条件，存在常数k₁，k₂，…，k_m使得

k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=β (*)

且必有k_m≠0(否则k_m=0，则由上式知β可由(Ⅰ)线性表示，这与已知条件矛盾)．于是得

3.设α₁，α₂，…，α_s均为n维向量，下列结论不正确的是( )(B)

A. 若对于任意一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，都有k₁α₁+k₁α₂+…+k_sα_s≠0，则α₁，α₂，…，α_s线性无关．

B. 若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，有k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0．

C. α₁，α₂，…，α_s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s．

D. α₁，α₂，…，α_s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．

解析：1 可举如下反例，说明B不正确：向量组α₁=线性相关，虽然k₁=1、k₂=0不全为零，但k₁α₁+k₂α₂=

4.设α₁，α₂，…，α_s均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )(A)

A. 若α₁，α₂，…，α_s线性相关，则Aα₁，A

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