考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编13

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编13

选择题

1.设矩阵A=(a_ij)_3×3满足A^*=A^T，其中A^*为A的伴随矩阵，A^T为A的转置矩阵．若a₁₁，a₁₂，a₁₃为三个相等的正数，则a₁₁为( )

(A)

A.

B.

C.

D.

解析：由题设条件A^*=A^T，即

其中A_ij为|A|中元素a_ij的代数余子式(i，j=1，2，3)，得a_ij=A_ij(i，j=1，2，3)，故有

|A|=a_1jA_1j=a_1j²=a₁₁²=3a₁₁²＞0

再从A^T=A^*两端取行列式，得

|A|=|A^T|=|A^*|=|A|²，即|A|(1－|A|)=0

由此得|A|=1．所以，有

a₁₁²=1／3|A|=1／3，

2.设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的－1倍加到第2列得C，记P=(B)

A. C=P^－1AP．

B. C=PAP^－1．

C. C=P^TAP．

D. C=PAP^T．

解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等变换与初等矩阵的关系，有B=PA．令矩阵

则将E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q，于是有C=BQ，从而有C=PAQ．由于

3.设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A³=O，则( )(C)

A. E－A不可逆，E+A不可逆．

B. E－A不可逆，E+A可逆．

C. E－A可逆，E+A可逆．

D. E－A可逆，E+A不可逆．

解析：由于(E－A)(E+A+A²)=E－A³=E，(E+A)(E－A+A²)=E+A³=E，故由可逆矩阵的定义知：E－A和E+A均是可逆的．

本题主要考查逆矩阵的定义，其中的方阵多项式分解因式可以类比通常多项式的公式：1－x³=(1－x)(1+x+x²)，1+x³=(1+x)(1－x+x²)．

4.设A，B均为2阶矩阵，A^*，B^*分别为A，B的伴随矩阵．若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵的伴随矩阵为( )

(B)

A.

B.

C.

D.

解析：1 记矩阵C=，则C的行列式|C|=(－1)⁴=|A||B|=6≠0，因此C为可逆矩阵，由公式CC^*=|C|E，得

C^*=|C|C^－1

故只有选项B正确．

2 记矩阵

并记|C|的(i，j)元素的代数余子式为A_ij(i，j=1，2，3，4)，则计算可得：

A₁₁=0，A₂₁=0，A₃₁=|A|h，A₄₁=－|A|f，

A₁₂=0，A₂₂=0，A₃₂=－|A|g，A₄₂=|A|e，

A₁₃=|B|d，A₂₃=－|B|b，A₃₃=0，A₄₃=0，

A₁₄=－|B|c，A₂₄=|B|a，A

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