考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编15

考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编15

选择题

1.设矩阵A_m×n的秩为r(A)=m＜n，I_m为m阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )(C)

A. A的任意m个列向量必线性无关．

B. A的任意一个m阶子式不等于零．

C. 若矩阵B满足BA=O，则B=O．

D. A通过初等行变换，必可以化为[I_mO]的形式．

解析：1 由BA=O知A的每个列向量都是齐次方程组Bx=0的解，由题设知A的列向量中有m个是线性无关的，故Bx=0解集合中至少有m个线性无关的解向量，因而Bx=0的基础解系所含向量个数不小于m，即m－r(B)≥m，所以r(B)≤0，故r(B)=0，即B=O．

2 由于r(A_m×n)=m，故存在可逆矩阵P_m×n，使得

AP=[I_m O]

用右乘两端，得

记n×m矩阵Q=P

2.齐次线性方程组

(C)

A. λ=－2且|B|=0

B. λ=－2且|B|≠0

C. λ=1且|B|=0

D. λ=1且|B|≠0

解析：1 设B按列分块为B=[β₁ β₂ β₃]，则由题设条件，有

O=AB=[Aβ₁Aβ₂ Aβ₃]

所以Aβ_j=0(j=1，2，3)，即矩阵B的每一列都是方程组Ax=0的解．又B≠O，故B至少有一列非零，因而方程组Ax=0存在非零解，从而有

=(λ－1)²=0

得λ=1

另一方面，必有|B|=0，否则|B|≠0，则B可逆，于是由给AB=O两端右乘B^－1，得A=O，这与A≠O矛盾，故必有|B|=0．

因此C正确．

2 同解1一样可说明必有|B|=0，同理有|A|=0，观察可知当λ=1时有|A|=

3.设α₁，α₂，α₃是4元非齐次线性方程组Ax=b的3个解向量，且A的秩r(A)=3，α₁=(1，2，3，4)^T，α₂+α₃=(0，1，2，3)^T，c表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解X=( )

(C)

A.

B.

C.

D.

解析：由于AX=b的通解等于AX=b的特解与AX=0的通解之和，故只要求出AX=0的基础解系，即得AXb的通解．

因为r(A)=3，故4元齐次方程组Ax=0的基础解系所含向量个数为4－r(A)=1，所以AX=0的任一非零解就是它的基础解系．由于α₁及1／2(α₂+α₃)都是Ax=b的解．故

α₁－(α₂+α₃)=1／2[2α₁－(α₂+α₃)]

4.设A为n阶实矩阵，A^T是A的转置矩阵，则对于线性方程组(Ⅰ)：Ax=0和(Ⅱ)：A^TAN=0，必有( )(A)

A. (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，(Ⅰ)的解也是(Ⅱ)的解．

B. (Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解．

C. (Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解．

D. (Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解．

解析：若向量X满足方程组AX=0，两端左乘A^T，得A^TAX=0，即X也满足方程组A^TAX=0，故AX=0的解都是A^TAX=0的解．

反之，若X满足A^TAX=0，两端左乘X^T，得A^TA^TAX=0，即(AX)^T(AX)=0，或‖AX‖²=0，故AX=0，即X也满足方程组AX=0，故A^TAX=0的解都是AX=0的解

由以上两方面，说明方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)是同解的，故A正确．

5.设A是n阶矩阵，α是n维列向量，且秩(D)

A. AX=α必有无穷多解．

B. AX=α必有惟一解．

C. D. 解析：方程组本文档预览：3000字符，共16817字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载