考研数学（数学二）模拟试卷446

考研数学（数学二）模拟试卷446

选择题

1.设(C)

A. 极限不存在．

B. 极限存在但不连续．

C. 连续但不可导．

D. 可导．

解析：有下述定理：

设f(x)在[a，b]上除点c∈(a，b)外连续．而点x=c是f(x)的跳跃间断点．又设

F(x)=∫_x0^xf(t)dt，x₀∈(a，b) ．

则：①F(x)在[a，b]上必连续；

②当x∈[a，b]但x≠c时，Fˊ(x)=f(x)；

③Fˊ(c)必不存在，并且F_－ˊ(c)，F₊ˊ(c)=f(c^－)．

在做选择题时可套用此结论．

由此定理可知应选C．

2.当x→0时，下列3个无穷小

(D)

A. α，β，γ．

B. γ，β，α．

C. γ，α，β．

D. α，γ，β．

解析：

对于γ，用带有佩亚诺余项的泰勒展开式展开最方便．

3.设

C

解析：令

故x=0是F(x)的一个间断点．选C．

下面证明A，B，D中的函数在x=0处均连续，由于

A中的F(x)=max{f(x)，g(x)}=1．显然此F(x)连续．

B中的此F(x)在x=0处连续．

D中的

4.设f(x，y)=|x－y|φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则“φ(0，0)=0”是“f(x，y)在点(0，0)处可微”的 ( )(C)

A. 必要条件而非充分条件．

B. 充分条件而非必要条件．

C. 充分必要条件．

D. 既非充分又非必要条件．

解析：先证充分性．设φ(0，0)=0，由于φ(x， y)在点(0，0)处连续，所以由于

按可微定义，f(x，y)在点O(0，0)处可微，且df(x，y)=0·△x+0·△y，即f_xˊ(0，0)=0，f_yˊ(0，0) =0．

再证必要性．设f(x，y)在点(0，0)处可微，则f_xˊ(0，0)与f_yˊ(0，0)必都存在．

5.设(D)

A. a_n+2=a_n+1+ a_n．

B. a_n+3=a_n．

C. a_n+4=a_n+2+ a_n．

D. a_n+6=a_n．

解析：由得f(0)=1，再由

f(x)(x²－x+1)=x+1， (*)

两边对x求一阶导数，得

fˊ(x)(x²－x+1)+ f(x)(2x－1)=1．

将x=0代入，得

fˊ(0) －f (0)=1， fˊ(0)=f (0)+1=2．

将(*)两边对x求n阶导数，n≥2，有

f⁽ⁿ⁾(x)(x²－x+1)+C_n¹f^(n－1)(x)(2x－1)+C_n²f^(n－2)(x)·2=0，

将x=0代入，得

f⁽ⁿ⁾(0)－C_n¹f^(n－1)(0)+2 C_n²f^(n－2)(0) =0，

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