考研数学一（填空题）模拟试卷67

考研数学一（填空题）模拟试卷67

填空题

1.

2

解析：当x→0时，有1－cos^ax～a／2x²，则1－～1／4(2x)²=x²，1－cos～1／2，

2.

2

解析：

3.交换二次积分的积分次序：

[*]

解析：

4.设y=ln(1+3^－x)，则dy=______．

[*]

解析：复合函数求导

5.微分方程(y²+1)dx=y(y一2x)dy的通解是_______．

[*]其中C为任意常数

解析：原方程写为(y²+1)dx+(2x—y)ydy=0，是全微分方程，再改写为(y²+1)dx+xd(y²+1)一y²dy=0，即d[x(y²+1)]=y²dy，积分得通解或

6.设α₁＝(1，2，－1，0)^T，α₂＝(1，1，0，2)^T，α₃＝(2，1，1，0)^T，若由α₁，α₂，α₃形成的向量空间的维数是2，则a＝_______．

6

解析：由题意知向量组α₁，α₂，α₃线性相关，而其中两个向量线性无关，所以r(α₁，α₂，α₃)＝2，故由初等变换

7.函数f(x)=｜4x³一18x²+27｜在区间[0，2]上的最小值为__________，最大值为__________．

0；27

解析：令φ(x)=4x³一18x²+27，则

8.假设随机变量X在[一1，1]上服从均匀分布，a是区间[一1，1]上的一个定点，Y为点X到a的距离，当a=________时，随机变量X与Y不相关．

0

解析：已知

E(X)=0，依题意Y=|X—a|，a应使E(XY)=E(X)E(Y)=0．其中

9.设随机变量X的概率密度为

[*]

解析：依题设，即求EX²．首先对所给概率密度作变换：对于x(一∞＜x＜+∞)，有

由此可知随机变量X服从正态分布，从而于是

10.已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察．观察值X＋Y不超过1出现的次数为Z．则EZ²＝_______．

5

解析：由题设知(X，Y)的联合概率密度为

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