考研数学二（填空题）模拟试卷81

考研数学二（填空题）模拟试卷81

填空题

1.设函数f(x)=a^x(a＞0，a≠1)，则

[*]

解析：

2.

[*]

解析：

3.曲线y＝lnx上与直线x＋y＝1垂直的切线方程为_______．

y＝x－1；

解析：

4.设矩阵A=

1

解析：

5.

[*]；

解析：

6.设α₁，α₂，α₃，α₄都是n维向量．判断下列命题是否成立．

①如果α₁，α₂，α₃线性无关，α₄不能用α₁，α₂，α₃线性表示，则α₁，α₂，α₃，α₄线性无关．

②如果α₁，α₂线性无关，α₃，α₄都不能用α₁，α₂线性表示，则α₁，α₂，α₃，α₄线性无关．

③如果存在n阶矩阵A，使得Aα₁，Aα₂，Aα₃，Aα₄线性无关，则α₁，α₂，α₃，α₄线性无关．

④如果α₁=Aβ₁，α₂=Aβ₂，α₃=Aβ₃，α₄=Aβ₄，其中A可逆，β₁，β₂，β₃，β₄线性无关，则α₁，α₂，α₃，α₄线性无关．

其中成立的为________．

①，③，④．

解析：①直接从定理3．2得到．

②明显不对，例如α₃不能用α₁，α₂线性表示，而α₃=α₄时，α₃，α₄都不能用α₁，α₂线性表示但是α₁，α₂，α₃，α₄线性相关．

③容易用秩说明：Aα₁，Aα₂，Aα₃，Aα₄的秩即矩阵(Aα₁，Aα₂，Aα₃，Aα₄)的秩，而(Aα₁，Aα₂，Aα₃，Aα₄)=A(α₁，α₂，α₃，α₄)，由矩阵秩的性质④，

r(Aα₁，Aα₂，Aα₃，Aα₄)≤r(α₁，α₂，α₃，α₄)．Aα₁，Aα₂，Aα₃，Aα₄无关，秩为4，于是α₁，α₂，α₃，α₄的秩也一定为4，线性无关．

④也可从秩看出：A可逆时，r(α₁，α₂，α₃，α₄)=r(Aα₁，Aα₂，Aα₃，Aα₄)=4．

7.求下列方程通解或满足给定初始条件的特解：

1)y＋1＝χe^χ＋y．

2)χ

1)e^－y＝e^χ(C－[*]χ²)

2)χ(csc(χ＋y)－cot(χ＋y))＝C

3)y＝(χ＋C)cosχ

4)y＝C₁ln｜1＋χ｜＋C₂

5)[*]

6)y＝C₁＋C₂e^－4χ－[*]

7)y＝C₁cos3χ＋C₂sin3χ＋[

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