考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷21

考研数学二（多元函数微分学）模拟试卷21

选择题

1.设f(x，y)=(C)

A. 连续，偏导数存在．

B. 连续，偏导数不存在．

C. 不连续，偏导数存在．

D. 不连续，偏导数不存在．

解析：这是讨论f(x，y)在点(0，0)处是否连续，是否可偏导．先讨论f(x，y)在点(0，0)处是否可偏导．由于f(x，0)=0(∈(-∞，+∞))，则=0．因此(B)，(D)被排除．

再考察f(x，y)在点(0，0)处的连续性．令y=x³，则

2.下列函数在(0，0)处不连续的是

(C)

A.

B.

C.

D.

解析：直接证(C)中f(x，y)在(0，0)不连续．当(x，y)沿直线y=x趋于(0，0)时

3.设z=f(x，y)=(B)

A. 可微．

B. 偏导数存在，但不可微．

C. 连续，但偏导数不存在．

D. 偏导数存在，但不连续．

解析：设△z=f(x，y)-f(0，0)，则可知．这表明f(x，y)=在点(0，0)处连续．

因f(x，0)=0()，所以f’_x(0，0)=f(x，0)｜_x=0=0，同理f’_y(0，0)=0．

令α=△z-f’_x(0，0)△x-f’_y(0，0)△y=，当(△x，△y)沿y=x趋于点(0，0)时

4.设z=f(x，y)=(C)

A. 偏导数存在且连续．

B. 偏导数不存在，但连续．

C. 偏导数存在，可微．

D. 偏导数存在，但不可微．

解析：由偏导数定义可知

这说明f’_x(0，0)存在且为0，同理f’_y(0，0)存在且为0．

又

解答题

5.求下列极限：

(Ⅰ)

[*]

因此

[*]

(Ⅱ)由x⁴+y²≥2x²｜y

[*]

而[*]，因此原极限为0．

解析：

6.证明极限

(x，y)沿不同的直线y=kx趋于(0，0)，有

[*]

再令(x，y)沿抛物线y²=x趋于(0，0)，有

[*]

由二者不相等可知极限[*]不存在．

解析：

7.(Ⅰ)设f(x，y)=x²+(y-1)arcsin

(Ⅱ)设

(Ⅰ)因f(x，1)=²，故[*]=2x｜_x=2=4．

又因f(2，y)=4+(y-1)arcsin[*]，故

[*]

(Ⅱ)按定义

[

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