考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷8

考研数学二（微分中值定理及其应用）模拟试卷8

选择题

1.设f(x)在x=a处连续，且(D)

A. 不可导．

B. 可导且f’(a)≠0．

C. 有极大值．

D. 有极小值．

解析：由f(x)在x=a连续=f(a)．又

根据极限的保号性

2.若xf’’(x)+3x[f’(x)]²=1-e^x且f’(0)=0，f’’(x)在x=0连续，则下列正确的是(D)

A. (0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．

B. f(0)是f(x)的极小值．

C. f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点．

D. f(0)是f(x)的极大值．

解析：由f’(0)=0知x=0是f(x)的驻点．为求f’’(0)，把方程改写为

f’’(x)+3[f’(x)]²=

令x→0，得f’’(0)=

3.设f(x))在(a，b)定义，x₀∈(a，b)，则下列命题中正确的是(C)

A. 若f(x)在(a，b)单调增加且可导，则f’(x)＞0(x∈(a，b))．

B. 若(x₀，f(x₀))是曲线y=f(x)的拐点，则f’’(x₀)=0．

C. 若f’(x₀)=0，f’’(x₀)=0，f’’’(x₀)≠0，则x₀一定不是f(x)的极值点．

D. 若f(x)在x=x₀处取极值，则f’(x₀)=0．

解析：(A)，(B)，(D)涉及到一些基本事实．

若f(x)在(a，b)可导且单调增加f’(x)≥0(x∈(a，b))．

若(x₀，f(x₀))是曲线y=f(x)的拐点，则f’’(x₀)可能不存在．

若x=x₀是f(x)的极值点，则f’(x₀)可能不存在．

因此(A)，(B)，(D)均不正确(如图4．1所示)．选(C)．

4.设f(x)可导，恒正，且0＜a＜x＜b时恒有f(x)＜xf’(x)，则(C)

A. bf(a)＞af(b)．

B. abf(x)＞x²f(b)．

C. af(a)＜xf(x)．

D. abf(x)＜x²f(a)．

解析：(A)，(B)，(D)分别改写为

因此要考察的单调性．因为

又在[a，b]连续在[a，b]单调上升

(A)，(B)，(D)均不对．选(C)．

或由正值函数在[a，b]单调上升.x²在[a，b]单调上升

5.若函数f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，且f(0)＜0，f’(x)≥k＞0，则在(0，+∞)内f(x)(C)

A. 没有零点．

B. 至少有一个零点．

C. 只有一个零点．

D. 有无零点不能确定．

解析：讨论函数的零点，一般要用连续函数在闭区间上的介值定理．根据拉格朗日中值定理，f(x)=f(0)+f’(ξ)x(0＜ξ＜x)，得f(x)≥f(0)+kx．显然当x足够大时f(x)＞0，又f(0)＜0，这就表明在(0，x)内存在f(x)的零点，又f’(x)＞0，即有f(x)单调增加，从而零点唯一，故选(C)．

6.曲线y=arctan本文档预览：3000字符，共17756字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载