考研数学二（二次型）模拟试卷16

考研数学二（二次型）模拟试卷16

选择题

1.设二次型f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX，已知r(A)=2，并且A满足A²-2A=0．则下列各标准二次型

(1)2y₁²+2y₂².

(2)2y₁²．

(3)2y₁²+2y₃²．

(4)2y₂²+2y₃²．

中可用正交变换化为f的是( )．(C)

A. (1)．

B. (3)，(4)．

C. (1)，(3)，(4)．

D. (2)．

解析：两个二次型可以用正交变换互相转化的充要条件是它们的矩阵相似，也就是特征值一样．从条件可知，A的特征值0，2，2．(1)，(3)，(4)这3个标准二次型的矩阵的特征值都是0，2，2．(2)中标准二次型的矩阵的特征值是0，0，2．

2.设

(A)

A. A与B既合同又相似．

B. A与B合同但不相似．

C. A与B不合同但相似．

D. A与B既不合同又不相似．

解析：A与B都是实对称矩阵，判断是否合同和相似只要看它们的特征值：特征值完全一样时相似，特征值正负性一样时合同．此题中A的特征值和B的特征值都是4，0，0，0，从而A与B既合同又相似．

3.设

A=(B)

A. A与B既合同又相似．

B. A与B合同但不相似．

C. A与B不合同但相似．

D. A与B既不合同又不相似．

解析：

4.A=，则( )中矩阵在实数域上与A合同．

(D)

A.

B.

C.

D.

解析：用特征值看：两个实对称矩阵合同甘它们的特征值正负性相同．

｜A｜=-3，对于2阶实对称矩阵，行列式小于0即两个特征值一正一负，于是只要看哪个矩阵行列式是负数就和A合同．计算得到只有(D)中的矩阵的行列式是负数．

填空题

5.已知A=

[*]

解析：

解答题

6.用配方法化下列二次型为标准型

(1)f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+2x₂²+2x₁x₂-2x₁x₃+2x₂x₃．

(2)f(x₁，x₂，x₃)=x₁x₂+x₁x₃+x₂x₃．

(1)f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+2x₂²+2x₁x₂-2x₁x₃+2x₂x₃

=[x₁²+2x₁x₂-2x₁x₃+(x₂-x₃)²]-(x₂-x₃)²+2x₂²+2x₂x₃

=(x₁+x₂-x₃)²+x₂²+4x₂x₃-x₃²

=(x₁+x₂-x₃)²+x₂²+4x₂x₃+4x₃²-5x₃²

=(x₁+x₂-x₃)²+(x₂+2x₃)²-5x₃².

令

[*]

原二次型化为f(x₁，x₂，x₃)=y₁²+y₂²-5y_3<

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