考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷9

考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷9

选择题

1.设向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则(C)

A. α必可由β，γ，δ线性表示．

B. β必不可由α，γ，δ线性表示．

C. δ必可由α，β，γ线性表示．

D. δ必不可由α，β，γ线性表示．

解析：

2.向量组α₁，α₂，…，α_a线性无关的充分必要条件是(D)

A. α₁，α₂，…，α_a均不是零向量．

B. α₁，α₂，…，α_a中任意两个向量的分量不成比例．

C. α₁，α₂，…，α_a，α_s+1线性无关．

D. α₁，α₂，…，α_a中任一个向量均不能由其余s-1个向量线性表出．

解析：(A)，(B)均是线性无关的必要条件．例如，α₁=(1，1，1)^T，α₂=(1，2，3)^T，α₃=(2，3，4)^T，虽α₁，α₂，α₃均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但α₁+α₂-α₃=0，α₁，α₂，α₃线性相关．

(C)是线性无关的充分条件．由α₁，α₂，…，α_s，α_s+1线性无关α₁，α₂，…，α_s线性无关，但由α₁，α₂，…，α_s线性无关

3.设α₁，α₂，α₃，α₄是3维非零向量，则下列说法正确的是(C)

A. 若α₁，α₂线性相关，α₃，α₄线性相关，则α₁+α₃，α₂+α₄也线性相关．

B. 若α₁，α₂，α₃线性无关，则α₁+α₄，α₂+α₄，α₃+α₄线性无关．

C. 若α₄不能由α₁，α₂，α₃线性表出，则α₁，α₂，α₃线性相关．

D. 若α₁，α₂，α₃，α₄中任意三个向量均线性无关，则α₁，α₂，α₃，α₄线性无关．

解析：若α₁=(1，0)，α₂=(2，0)，α₃=(0，2)，α₄=(0，3)，则α₁，α₂线性相关，α₃，α₄线性相关，但α₁+α₃=(1，2)，α₂+α₄=(2，3)线性无关．故(A)不正确．

对于(B)，取α₄=-α₁，即知(B)不对．

对于(D)，可考察向量组(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(-1，-1，-1)，可知(D)不对．

至于(C)，因为4个3维向量必线性相关，如若α₁，α₂，α₃线性无关，则α₄必可由α₁，α₂，α₃线性表出．现在α₄不能由α₁，α₂，α₃线性表出，故α₁，α₂，α₃必线性相关．故应选(C)．

4.若α₁，α₂，α₃线性无关，那么下列线性相关的向量组是(D)

A. α₁，α₁+α₂，α₁+α₂+α₃．

B. α₁+α₂，α₁-α₂，-α₃．

C. -α₁+α₂，α₂+α₃，α₃-α₁．

D. α₁-α₂，α₂-α₃，α₃-α₁．

解析：用观察法．由

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