考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷12

考研数学二（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷12

选择题

1.设M=sin(sinx)dx，N=(A)

A. M＜x＜N．

B. M＜N＜1．

C. N＜M＜1．

D. 1＜M＜N．

解析：sin(sinx)，cos(cosx)均在上连续，由

又

2.函数F(x)=∫_x^x+2πf(t)dt，其中f(t)=e^sin2t(1+sin²t)cos2t，则F(x)(B)

A. 为正数．

B. 为负数．

C. 恒为零．

D. 不是常数．

解析：由于被积函数连续且以π为周期(2π也是周期)，故F(x)=F(0)=∫₀^2πf(t)dt=2∫₀^πf(t)dt，即F(x)为常数.由于被积函数是变号的，为确定积分值的符号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即

2∫₀^πf(t)dt=∫₀^πe^sin2t(1+sin²t)d(sin2t)=∫₀^2π-sin²2te^sin2t(2+sin²t)dt＜0，

故应选(B)．

3.设f(x)为(-∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)=∫₀^x(2t-x)f(x-t)dt，则F(x)是(C)

A. 单调增加的奇函数．

B. 单调增加的偶函数．

C. 单调减小的奇函数．

D. 单调减小的偶函数．

解析：对被积函数作变量替换u=x-t，就有

F(x)=∫₀^x(2t-x)f(x-t)dt=∫₀^x(x-2u)f(u)du=x∫₀^xf(u)du-2∫₀^xuf(u)du．

由于f(x)为奇函数，故∫₀^xf(u)du为偶函数，于是x∫₀^xf(u)du为奇函数，又因uf(u)为偶函数，从而

∫₀^xuf(u)du为奇函数，所以F(x)为奇函数．又

F’(x)=∫₀^xf(u)du+xf(x)-2xf(x)=∫₀^xf(u)du-xf(x)，

由积分中值定理知在0与x之间存在ξ使得∫₀^xf(u)du=xf(ξ)．从而F’(x)=x[f(ξ)-f(x)]，无论x＞0，还是x＜0，由f(x)单调增加，都有F’(x)＜0，从而应选(C)．

其实，由F’(x)=∫₀^xf(u)du-xf(x)=∫₀^x[f(u)-f(x)]du及f(x)单调增加也可得F’(x)＜0．

填空题

4.设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos²x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且满足F(0)=0，则F(x)=______．

-2sinx

解析：由题设及原函数存在定理可知，F(x)=∫₀^xf(t)dt．为求f(x)，将题设等式求导得

f(x)sinx=[∫f(x)sindx]’=(cos²x+C)’=-2sincosx，

从而f(x)=-2cosx，于是

F(x)=∫₀^xf(t)dt=∫₀^x-2costdt=-2sinx．

5.设f(x)为连续函数，且满足f(x)=x+∫₀¹xf(x)dx，则f(x)=_______．

x+[*]

解析：定积分是积分和的极限，当被积函数和积分区间确定后，它就是一个确定的数．从而由题设知可令∫₀¹xf(x)dx=A，只要求得常数A就可得到函数f(x)的表达式．为此将题设等式两边同乘x并从0到1求定积分，就有

A=∫₀¹xdx+∫₀¹Axdx

故f(x)=x+

解答题

6.设两曲线y=本文档预览：3000字符，共14657字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载