考研数学二（二次型）模拟试卷17

考研数学二（二次型）模拟试卷17

选择题

1.下列矩阵中，正定矩阵是

(C)

A.

B.

C.

D.

解析：正定的必要条件a_ij＞0，可排除(A)、(D)．

(B)中△₂=0与顺序主子式全大于0相矛盾，排除(B)．故应选(C)．

2.矩阵A=合同于

(B)

A.

B.

C.

D.

解析：由矩阵A的特征多项式

｜λE-A｜=

3.设A=(A)

A. 合同且相似．

B. 合同但不相似．

C. 不合同但相似．

D. 不合同也不相似．

解析：由｜λE-A｜=λ³-3λ²，知矩阵A的特征值为3，0，0．

又因A是实对称矩阵，A必能相似对角化，所以A～B．

因为A，B有相同的特征值，从而有相同的正、负惯性指数，所以A

4.设A，B均为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充要条件是(D)

A. A，B有相同的特征值．

B. A，B有相同的秩．

C. A，B有相同的行列式．

D. A，B有相同的正负惯性指数．

解析：(A)是充分条件．特征值一样有相同的正、负惯性指数合同．但不是必要条件．例如A=，特征值不同，但AB．

(B)是必要条件．由C^TAC=B，C可逆r(A)=r(B)，但不是充分条件．例如A=，B=，虽r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同．故A与B不合同．

(C)既不必要也不充分．例如A=，行列式不同但合同，又如A=，B=

5.二次型x^TAx正定的充要条件是(C)

A. 负惯性指数为零．

B. 存在可逆矩阵P，使P^-1AP=E．

C. A的特征值全大于零．

D. 存在厅阶矩阵C，使A=C^TC．

解析：(A)是正定的必要条件．若f(x₁，x₂，x₃)=x₁+5x₃，虽q=0，但f不正定．

(B)是充分条件．正定并不要求特征值全为1．虽A=不和单位矩阵层相似，但二次型x^TAx正定．

(D)中没有矩阵C可逆的条件，也就推导不出A与E合同，例如C=，A=C^TC=

填空题

6.二次型f(x₁，x₂，x₃)=(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²的矩阵是______．

[*]

解析：f(x₁，x₂，x₃)=a₁²x₁²+a₂²x₂²+a₃²x₃²+2a₁a₂x本文档预览：3000字符，共12694字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载