考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷38

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷38

选择题

1.设随机变量X服从正态分布，其概率密度函数f(x)在x=1处有驻点，且f(1)=1，则X服从分布(B)

A. N(1，1)．

B. C. D. N(0，1)．

解析：

2.设随机变量X的概率密度为f(x)，则随机变量|X|的概率密度f₁(x)为

(D)

A.

B.

C.

D.

解析：设X的分布函数为F(x)，|X|的分布函数为F₁(x)，则

当x≤0时，F₁(x)=P{|X|≤x}=0，从而f₁(x)=0；

当x＞0时，F₁(x)=P{|X|≤x}=P{一x≤X≤x}=∫_-x^xf(x)dx=F(x)一F(一x)，从而有 f₁(x)=f(x)+f(一x)．

由上分析可知，应选(D)．

3.设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，已知X=Y，且都服从标准正态分布．如有F(a，b)=(D)

A. a=0，b=0．

B. a=0，b＞0．

C. a=0，b＜0．

D. min(a，b)=0．

解析：由题设知，X与Y的分布函数为ψ(x)，据二维随机变量分布函数的定义及已知条件有

F(x，y)=P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x，X≤y}=P{X≤min(x，y)}=ψ(min(x，y))，

又F(a，b)=ψ(min(a，b))=

4.已知X，Y的概率分布分别为P{X=1}=P{X=0}=则P{X=Y}=

(C)

A.

B.

C.

D.

解析：本题考查联合分布与边缘分布的关系．由题设知P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=又已知X，Y的分布，从而可求出下表中用黑体表示的数字，得(X，Y)的概率分布

所以，P{X=Y}=P{X=0，Y=0}+P{X=1，Y=1}=

填空题

5.已知某自动生产线加工出的产品次品率为0．01，检验人员每天检验8次，每次从已生产出的产品中随意取10件进行检验，如果发现其中有次品就去调整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为_______．(0．99⁸⁰≈0．4475)

0.55

解析：如果用X表示每天要调整的次数，那么所求的概率为P{每天至少调整设备一次}=P{X≥1}=1一P{X=0}．显然0≤X≤8，如果将“检验一次”视为一次试验，那么X就是8次试验，事件A=“10件产品中至少有一件次品”发生的次数，因此X～B(8，p)，其中p=P(A)．如果用Y表示10件产品中次品数，则Y～B(10，0．01)，

p=P(A)=P{Y≥1}=1—P{Y=0}=1一(1—0．01)¹⁰=1一0．99¹⁰．所求的概率为 P{X≥1}=1一P{X=0}=1一(1一p)⁸=1一0．99⁸⁰=1一0．4475≈0．55．

6.袋中有8个球，其中有3个白球，5个黑球．现从中随意取出4个球，如果4个球中有2个白球2个黑球，试验停止，否则将4个球放回袋中重新抽取4个球，直至取到2个白球2个黑球为止．用X表示抽取次数，则P{X=k}=_____(k=1，2，…)．

[*]

解析：若记A_i=“第i次取出4个球为2个白球，2个黑球”，由于是有放回取球，因而A_i相互独立，根据超几何分布知再由几何分布即得

7.设随机变量X₁服从参数为p(0＜p＜1)的0—1分布，X₂服从参数为n，p的二项分布，Y服从参数为2p的泊松分布，已知X₁取0的概率是X₂取0概率的9倍，X₁取1的概率是X₂取1概率的3倍，则P{Y=0}=_______，P{Y=1}=_______．

[*]

解析：

8.设随机变量X与一X服从同一均匀分布U[a，b]，

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