考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷6

考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷6

选择题

1.函数F(x)=∫_x^x+2πf(t)dt,其中f(t)=(B)

A. 为正数．

B. 为负数．

C. 恒为零．

D. 不是常数．

解析：由于被积函数连续且以π为周期(2π也是周期)，故F(x)=F(0)=∫₀^2πf(t)dt=2∫₀^πf(t)dt，即F(x)为常数?由于被积函数是变号的，为确定积分值的符号，可通过分部积分转化为被积函数定号的情形，即

2∫₀^πf(t)dt=(1+sin²t)d(sin2t)=∫₀^π一

2.设f(x)为(一∞，+∞)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)=∫₀^x(2t—x)f(x一t)dt，则F(x)是(C)

A. 单调增加的奇函数．

B. 单调增加的偶函数．

C. 单调减小的奇函数．

D. 单调减小的偶函数．

解析：对被积函数作变量替换u=x—t，就有

F(x)=∫₀^x(2t—x)f(x-t)dt=∫₀^x(x一2u)f(u)du=x∫₀^xf(u)du一2∫₀^xuf(u)du．

由于f(x)为奇函数，故∫₀^xf(u)du为偶函数，于是x∫₀^xf(u)du为奇函数，又因uf(u)为偶函数，从而∫₀^xuf(u)du为奇函数，所以F(x)为奇函数．又

F’(x)=∫₀^xf(u)du+xf(x)-2xf(x)=∫₀^xf(u)du—xf(x)，

由积分中值定理知在0与x之间存在ξ使得∫₀^xf(u)du=xf(ξ)．从而F’(x)=x[f(ξ)一f(x)]，无论x＞0，还是x＜0，由f(x)单调增加，都有F’(x)＜0，从而应选(C)．

其实，由F’(x)=∫₀^xf(u)du一xf(x)=∫₀^x[f(u)一f(x)]du及f(x)单调增加也可得F’(x)＜0．

3.下列可表示由双纽线(x²+y²)²=x²一y²围成平面区域的面积是

(A)

A.

B.

C.

D.

解析：双纽线的极坐标方程是：r⁴=r²(cos²θ一sin²θ)即r²=cos2θ．当θ∈[一π，π]时，仅当时才有r≥0(图3．24)．

由于曲线关于极轴与Y轴均对称，如图3．24，只需考虑θ∈部分．

由对称性及广义扇形面积计算公式得

填空题

4.由曲线x=a(t一sint)，y=a(1一cost)(0≤t≤2π)(摆线)及x轴围成平面图形的面积S=_______·

3πa²

解析：当t∈[0，2π]时，曲线与x轴的交点是x=0，2πa(相应于t=0．2π)，曲线在x轴上方，见图3．25．于是图形的面积

=∫₀^2πa²(1-cost)²dt=a²∫₀^2π(1-2cost+cos²t)dt=3πa²．

解答题

5.比较定积分

当两个定积分的积分区间相同且被积函数连续时，只需比较被积函数的大小就可比较定积分的大小．这里被积函数连续，但积分区间不同，应先通过变量替换转化为积分区间相同的情形之后再比较被积函数

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