考研数学一（一元函数积分概念、计算及应用）模拟试卷5
选择题
1.设
(A)
A. M＜1＜N．
B. M＜N＜1．
C. N＜M＜1．
D. 1＜M＜N．
解析：
填空题
2.若f(x)的导函数是sinx，则f(x)的原函数是_______．
一sinx+C1x+C2，其中C1，C2为任意常数．
解析：f(x)的导函数是sinx，那么f(x)应具有形式一cosx+C1，所以f(x)的原函数应为一sinx+C1x+C2，其中C1，C2为任意常数．
3.设f(x)在[0，1]连续，
4A
解析：由于f(|cosx|)在(一∞，+∞)连续，以π为周期，且为偶函数，则根据周期函数与偶函数的积分性质得
4.设f(x)是连续函数，并满足∫f(x)sinxdx=cos2x+C，又F(x)是f(x)的原函数，且满足F(0)=0，则F(x)=_______．
一2sinx
解析：由题设及原函数存在定理可知，F(x)=∫0xf(t)dt为求f(x)，将题设等式求导得
f(x)sinx=[∫f(x)sinxdx]’=(cos2x+C)’=一2sinxcosx，
从而f(x)=一2cosx，于是
F(x)=∫0xf(t)dt=∫0x一2costdt=-2sinx．
5.设f(x)为连续函数，且满足f(x)=x+∫01xf(x)dx，则f(x)=_______．
[*]
解析：定积分是积分和的极限，当被积函数和积分区间确定后，它就是一个确定的数．从而由题设知可令∫01xf(x)dx=A，只要求得常数A就可得到函数f(x)的表达式．为此将题设等式两边同乘x并从0到1求定积分，就有
解答题
6.设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且
因为f(x)在[a，b]上连续，由积分中值定理可知，在(a，b)内至少存在一点c使得
[*]
这就说明f(c)=f(b)．根据假设可得f(x)在[a，b]上连续，在(c，b)内可导，故由罗尔定理知，在(c,b)内至少存在一点ξ，使f’(ξ)=0，其中ξ∈(c，b)[*](a，b)．
解析：
7.以下计算是否正确?为什么?
利用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分∫abf(x)dx必须满足两个条件：其一是f(x)在[a，b]上连续，另一个是F(x)是f(x)在[a，b]上的一个原函数．
[*]
由此可见，本题的题目中所给出的计算是错误的．原因在于[*]在x=0不连续，且x=0不是[*]
拘可去间断点，从而[*]在区间[一1，1]上的一个原函数，故不能直接在[一1，1]上应用牛顿一莱布尼兹公式．这时正确的做法是把[一1，1]分为[一1，0]与[0，1]两个小区间，然后用分段积分法进行如下计算：
[*]
解析：
8.n为自然数，证明：
∫02πcosnxdx=∫02πsinnxdx=
[*]
解析：
9.求下列不定积分：
(I)利用三角函数的倍角公式：1+cos2x=2cos2x进行分项得
[*]
(Ⅱ)利用加减同一项进行拆项得
[*]
(Ⅲ)将被积函数的分母有理化后得
[*]
再将第二项拆项得
[*]
解析：
10.计算下列定积分：
(Ⅱ)∫02f(x-1)dx=其中f(x)=
[*]
(Ⅱ)由于分段函数f(x)的分界点为0，所以，令t=x一1后，有
[*]
解析：
本文档预览：3000字符，共7366字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载
