考研数学一（微分中值定理及其应用）模拟试卷4
选择题
1.设函数f(x)在x=0的某邻域内连续，且满足
(C)
A. 是f(x)的驻点，且为极大值点．
B. 是f(x)的驻点，且为极小值点．
C. 是f(x)的驻点，但不是极值点．
D. 不是f(x)的驻点．
解析：本题应先从x=0是否为驻点入手，即求f’(0)是否为0；若是，再判断是否为极值点．
从而f(0)=0，f’(0)=
=一1×0=0可知x=0是f(x)的驻点．再由极限的局部保号性还知，在x=0的某去心邻域内
设f(x)分别满足如下两个条件中的任何一个：
2.f(x)在x=0处三阶可导，且
(C)
A. f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点．
B. f(0)是f(x)的极小值．
C. (0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．
D. f(0)是f(x)的极大值．
解析：
3.f(x)在x=0邻域二阶可导，f’(0)=0，且(B)
A. f(0)不是f(x)的极值，(0，f(0))不是曲线y=f(x)的拐点．
B. f(0)是f(x)的极小值．
C. (0，f(0))是曲线y=f(x)的拐点．
D. f(0)是f(x)的极大值．
解析：
解答题
4.证明函数恒等式arctanx=
令f(x)=arctanx，[*]，要证f(x)=g(x)当x∈(一1，1)时成立，
只需证明：1° f(x)，g(x)在(一1，1)可导且当x∈(一1，1)时f’(x)=g’(x)；
2。 [*]∈(一1，1)使得f(x0)=g(x0)．
由初等函数的性质知f(x)与g(x)都在(一1，1)内可导，计算可得
[*]
即当x∈(一1，1)时f’(x)=g’(x)．又f(0)=g(0)=0，因此当x∈(一1，1)时f(x)=g(x)，即恒等式成立．
解析：
5.设函数f(x)，g(x)在x=x0有连续的二阶导数且f(x0)=g(x0)，f’(x0)=g’(x0)，f\\
曲线y=f(x)，y=g(x)在公共点M0(x0，f(x0))即(x0，g(x0))处相切，在点M0的某邻域有相同的凹凸性．因f”(x)，g\\
解析：
6.设f(x)在(a，b)内可导，证明：
充分性：设(*)成立，[*]x1，x2∈(a，b)且x1＜x2
f(x2)＜f(x1)+f’(x1)(x2一x1)，f(x1)＜f(x2)+f’(x2)(x1一x2)．
两式相加 [f’(x1)一f’(x2)](x2一x1)＞0
f’(x1)＞f’(x2)，即f’(x)在(a，b)单调减少．
必要性：设f’(x)在(a，b)单调减少．对于[*]∈(a，b)且x≠x0，由微分中值定理得
f(x)一[f(x0)+f’(x0)(x一x0)]=[f’(ξ)一f’(x0)](x一x0)＜0，其中ξ在x与x0之间，即(*)成立．
解析：
7.求函数
(I)定义域x≠±1，间断点z=±1，零点x=0，且是奇函数．
(Ⅱ)求y’，y”和它们的零点．
[*]
由y’=0得驻点x=0，[*]由y”=0得x=0，由这些点及间断点x=±1把函数的定义域按自然顺序分成[*]由此可列出函数如下分段变化表，并标明每个区间上函数的单调性、凹凸性及相应的极值点与拐点．
[*]
解析：
8.求曲线
只有间断点x=0，因[*]，故有垂直渐近线x=0．又
[*]
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