考研数学一（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷1
填空题
1.当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量△y=
[*]
解析：
解答题
2.求
[*]
解析：
3.求
把t=一x2代入[*](t→0)即得
[*]
解析：
4.求arctanx带皮亚诺余项的5阶麦克劳林公式．
由于(arctanx)’=[*]=1一x2+x4+o(x5)，由该式逐项积分即得
[*]
解析：
5.求极限
[*]
又 sinx2一x2(x→0)，所以[*]
解析：
6.确定常数a和b的值，使f(x)=x一(a+
[*]
不难看出当1一a一b=0与[*]同时成立f(x)才能满足题设条件．由此可解得常数a=[*]并且得到f(x)=[*]f(x)是x的5阶无穷小(x→0)．
解析：
7.设f(x)在x=0处n(n≥2)阶可导且
1)先转化已知条件．由[*]知
[*]
再用当x→0时的等价无穷小因子替换ln[1+f(x)]～f(x)，可得[*]
2)用o(1)表示当x→0时的无穷小量，由当x→0时的极限与无穷小的关系[*]=4+o(1)，并利用xno(1)=o(xn)可得f(x)=4xn+o(xn)．从而由泰勒公式的唯一性即知f(0)=0，f’(0)=0，…，f(n-1)(0)=0，[*]，故f(n)(0)=4n!．
解析：
8.
由带拉格朗日余项的泰勒公式
[*]
解析：
9.设f(x)在[a，b]三次可微，证明：
∈(a，b)，使得
将f(x)在[*]展成二阶泰勒公式并分别令x=b与x=a得
[*]
其中ξ1，ξ2∈(a，b)．上面两式相减得
[*]
注意：[*][f\\
解析：
10.在x=0处展开下列函数至括号内的指定阶数：
(I)f(x)=tanx(x3)； (Ⅱ)f(x)=sin(sinx) (x3)．
(I)设tanx=A0+A1x+A2x2+A3x3+o(x3)=A1x+A3x3+o(x3)(tanx为奇函数，A0=0，A2=0)，又[*]则
[*]
解析：
11.求下列函数f(x)在x=0处带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：
(I) f(x)=
(I)由f(x)=[*]可得对m=1，2，3，…有
[*]
故 f(x)=1—2x+2x2一…+2(一1)nxn+2(一1)n+1[*]
(Ⅱ)用归纳法求出f(n)(x)的统一公式．
[*]
解析：
12.用泰勒公式求下列极限：
(I)用et，ln(1+t)，cost,sint的泰勒公式，将分子、分母中的函数在x=0展开,由于
[*]
再求分子的泰勒公式．由
x2e2x=x2[1+(2x)+o(x)]=x2+2x3+o(x3)，In(1一x2)=一x2+o(x3本文档预览：3000字符，共14764字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载
