考研数学（数学一）模拟试卷456

考研数学（数学一）模拟试卷456

选择题

1.若反常积分∫₀^-1x^p-1(1-x)^q-1dx收敛，则( )(A)

A. p＞0且q＞0。

B. P＞0且q＜0。

C. p＞1且q＞1。

D. p＞1且q＜1。

解析：被积函数f(x)=x^p-1(1-x)^q-1可能的瑕点是0和1。将积分区间分成两部分，即

∫₀¹x^p-1(1-x)^q-1dx=∫₀^1／2x^p-1(1-x)^q-1～dx+∫_1／2¹x^p-1(1-x)^q-1dx。

当x→0⁺时，x^p-1(1-x)^q-1～；当x→1^–时，x^p-1(1-x)^q-1～

2.已知函数f(x)=则f(x)的一个原函数是( )

(A)

A.

B.

C.

D.

解析：f(x)的原函数一定是连续函数，所以F(x)在x=1处连续，选项中只有A、B两项符合。对于B项，当x＞1时，F(x)=ln²x，则，F’(x)=2lnx／x≠f(x)，所以B项错误。由排除法可知，选A。

3.设y₁=e^x／2+e^-x+e^x，y₂=2e^-x+e^x，y₃=e^x／2+e^x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，则该方程的通解是( )(A)

A. y=C₁e^x／2+C₂e^-x+2e^x／2+e^-x+e^x。

B. y=C₁e^x／2+C₂e^-x+2e^x／2+e^-x。

C. y=C₁e^-x+C₂e^x+3e^x／2。

D. y=C₁e^x／2+C₂e^-x+2e^x。

解析：由解的结构定理，知y₁-y₃=e^-x是对应的齐次方程的解。y₁-y₂=e^x／2-e^-x也是对应的齐次方程的解，从而Y=e^x／2是齐次方程的解，且e^x／2与e^-x线性无关，即对应的齐次方程的通解为y=C₁e^x／2+C₂e^-x。比较四个选项，只有A选项符合非齐次线性微分方程的解的结构，故选A。

4.设A、B为n阶方阵，且对任意的λ，有|λE-A|=|λE-B|，则( )(A)

A. |λE-A|=|λE-B|。

B. A与B相似。

C. A与B合同。

D. A、B同时可相似对角化或不可相似对角化。

解析：因为对任意的λ，有|λE-A|=|λE-B|，所以A的特征值等于B的特征值，则-A的特征值等于-B的特征值，故A项正确。

若矩阵相似，则矩阵的特征值相同，但反之不成立，故B项错误。矩阵合同要求矩阵是实对称矩阵，但是题目中并没有明确的题设，故C项错误。D项无中生有。例如A=，B=

5.设A为四阶实对称矩阵，且A²+2A-3E=O，若r(A-E)=1，则二次型x^TAx在正交变换下的标准形为( )(B)

A. y₁²+y₂²+y₃²-y₄²。

B. y₁²+y₂²+y₃²-3y₄²。

C. y₁²-3y₂²-3y₃²-3y₄²。

D. y₁²+y₂²-3y₃²-3y₄²。

解析：由A²+2A-3E=O有(A-

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