考研数学三（微积分）模拟试卷266

考研数学三（微积分）模拟试卷266

选择题

1.设f(x)在[0，2]上单调连续，f(0)=1，f(2)=2，且对任意x₁，x₂∈[0，2]总有(D)

A. 3＜P＜4

B. 2＜P＜3

C. 1＜P＜2

D. 0＜P＜1

解析：根据题设条件，对任意x₁，x₂∈[0，2]总有，可知曲线f(x)在[0，2]上是凸的，因f(x)在[0，2]上单调连续，且f(0)=1，f(2)=2，所以，f(x)在[0，2]上单调递增，进而f(x)＞0，x∈[0，2]．又g(x)是f(x)的反函数，因此，g(1)=0，g(2)=2，g(x)在[1，2]上是凹的，且g(x)＞0，x∈(1，2]．

如图所示，曲线CD是f(x)的图形，曲线AC是g(x)的图形，由定积分的几何意义，P=∫₁²g(x)dx表示图中曲边三角形ABC的面积，显然P=∫₁²g(x)dx小于直角三角形ABC的面积，即P=∫₁²g(x)dx＜1／2×1×2=1，因此有0＜P=∫₁²g(x)dx＜1．

故正确选项为(D)．

2.以函数y_t=A·2^t+8为通解的差分方程是( )．(C)

A. y_t+2-3y_t+1+2y_t=0

B. y_t-3y_t-1+2y_t-2=0

C. y_t+1-2y_t=-8

D. y_t+1-2y_t=8

解析：以y_t=A·2^t+8代入各个方程，由(A)可知，

y_t+2-3y_t+1+2y_t=(A·2^t+2+8)-3(A·2^t+1+8)+2(A·2^t+8)

=A·2^t(2²-3×2+2)+(8-3×8+2×8)一O．

虽然y_t=A·2^t+8是差分方程(A)的解，但(A)是二阶常系数差分方程，其通解形式中应含有两个任意常数，故函数y_t=A·2^t+8不能称为(A)的通解．

易见，差分方程(B)与差分方程(A)是同解差分方程．因为(A)，(B)两差分方程中的时间滞后结构是一致的，即仅对￡推后了一个相同的等间隔值2，故函数y_t=A·2^t+8也不能称为(B)的通解．

将y_t=A·2^t+8代入差分方程(C)，有

y_t+1-2y_t=(A·2^t+1+8)-2(A·2^t+8)=A·2^t(2-2)+(8-2×8)=-8．

结果函数y_t满足方程(C)，且方程(C)是一阶差分方程，而函数y_t=A·2^t+8中仅含一个任意常数，故函数y_t=A·2^t+8是差分方程(C)的通解．

可以验证，该函数不是差分方程(D)的解．综上所述，应选(C)．

3.当x→0时，以下无穷小中，阶数最高的是( )．(D)

A. ∫₀^sinx(1+t)^2／tdt

B. C. ∫₀^x(e^cost-e^sint)dt

D. ∫₀^x-tanxarctantdt

解析：当x=0时，

对于(A)选项，sinx～x，(1+x)^2／x→e²，则有

∫₀^sinx(1+t)^2／tdt～∫₀^xe²dt=e²x；

对于(B)选项，ln(1+x²)～x²，→1，则有

对于(C)选项，e^cosx-e^sinx→e-1，则有

∫₀^x(e^cost-e^sint)dt～∫₀^x(e-1)dt=(e-1)x；

对于(D)选项，x-tanx～-x³／3，arctanx～x，则有

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