考研数学三（线性代数）模拟试卷173

考研数学三（线性代数）模拟试卷173

选择题

1.必合同于单位矩阵的矩阵为(C)

A. 对角矩阵

B. 对称矩阵

C. 正定矩阵

D. 正交矩阵

解析：当A是正定矩阵时，二次型f(x)=x^TAx的正惯性指数为n，故A合同于单位矩阵．

2.已知A=(α，γ₂，γ₃，γ₄)，B=(β，γ₂，γ₃，γ₄)为四阶方阵，其中a，β，γ₂，γ₃，γ₄均为四维列向量，且已知行列式｜A｜=4，｜B｜=1，则｜A+B｜=(D)

A. 5

B. 10

C. 20

D. 40

解析：A+B=(α+β，2γ₂，2γ₃，2γ₄)．

｜A+B｜=｜α+β，2γ₂，2γ₃，2γ₄｜

=8｜α+β，γ₂，γ₃，γ₄｜

=8(｜α，γ₂，γ₃，γ₄｜+｜β，γ₂，γ₃，γ₄｜)

=8(｜A｜+｜B｜)

=40．

3.设A=[α₁，α₂，α₃]是三阶矩阵，则下列行列式中等于｜A｜的是(C)

A. ｜α₁－α₂，α₂－α₃，α₃－α₁｜

B. ｜α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁｜

C. ｜α₁+2α₂，α₃，α₁+α₂｜

D. ｜α₁，α₂+α₃，α₁+α₂｜

解析：本题考查行列式的性质，分别对每个行列式作适当的列变换，向｜α₁，α₂，α₃｜靠拢．

(A)｜α₁－α₂，α₂－α₃，α₃－α₁｜=｜0，α₂－α₃，α₃－α₁｜=0．

(B)｜α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₁｜=｜2(α₁+α₂+α₃)，α₂+α₃，α₃+α₁｜

=2｜α₁+α₂+α₃，α₂+α₃，α₃+α₁｜

=2｜α₁，α₂+α₃，α₃+α₁｜

=2｜α₁，α₂+α₃，α₃｜=2｜A｜．

(C)｜α₁+2α₂，α₃，α₁+α₂｜=｜α₂，α₃，α₁+α₂｜=｜α₂，α₃，α₁｜=｜A｜．

(D)｜α₁，α₂+α₃，α₁+α₂｜=｜α₁，α₂+α₃，α₂｜=｜α₁，α₃，α₂｜=－｜A｜．

请说出每个等号成立的理由，作的什么变换，用的什么性质?

或对(C)如上题有(α₁+2α₂，α₃，α₁+α₂)=(α₁，α₂，α₃)

则 ｜C｜=｜α₁，α₂，α₃｜

4.已知α，β是n维列向量，正确的结论是(B)

A. αβ^T=βα^T

B. α^Tβ=β^Tα

C. αβ^T=α^Tβ

D. α^Tβα^T=β^Tαβ^T

解析：设α=(a₁，a₂，a₃)^T，β=(b_1<

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