考研数学一（定积分）模拟试卷12

考研数学一（定积分）模拟试卷12

选择题

1.设M＝∫_－π／2^π／2(sinxcos⁴x／(1＋x²))xdx，N＝∫_－π／2^π／2(sin³x＋cos⁴x)dx，P＝∫_－π／2^π／2(x²sin³x－cos⁴x)dx.则有________．(D)

A. N＜P＜M

B. M＜P＜N

C. N＜M＜P

D. P＜M＜N

解析：根据定积分的性质知:

M＝0，N＝2∫₀^π／2cos⁴xdx＞0，P＝－2∫₀^π／2cos⁴xdx＜0.

所以P＜M＜N.

故应选D.

2.设F(x)＝(B)

A. F(x)＝0

B. F(x)＝π／2

C. F(x)＝arctanx

D. F(x)＝2arctanx

解析：所给函数F(x)是两个变上限定积分之和，而且dt／(1＋t²)是arctant的微分，所以容易想

到直接求出F(x)之值，即.

F(x)＝∫₀^xd(arctant)＋∫₀^1／xd(arctant)＝arctanx＋arctan(1／x)

对照A、B、C、D四选项，C和D显然不正确，而当x＝1时，F(1)＝π／2，故A也不正确，根据正确选项的唯一性。只有B是正确的，更为简单的方法是直接对F(x)关于x求导数.则

3.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“M←→N”表示“M的充分必要条件是N”，则必有(A)

A. F(x).是偶函数←→f(x)是奇函数

B. F(x)是奇函数←→f(x)是偶函数

C. F(x)是周期函数←→f(x)是周期函数

D. F(x)是单调函数←→f(x)是单调函数

解析：解法一

任－－原函数可表示为F(x)＝∫₀^xf(t)dt＋C.且 F’(x)＝f(x).

当F(x)为偶函数时，有F(－x)＝F(x).于是F’(－x)．(－1)＝F’(x).即－f(－x)＝f(x)，也即f(－x)＝－f(x)，可见f(x)为奇函数；

反过来，若(x)为奇函数，则∫₀^xf(t)dt 为偶函数，从而F(x)＝∫₀^xf(t)dt＋C 为偶函数，可见A为正确选项.

解法二

令f(x)＝1.则取F(x)＝x＋1.排除B.C；令f(x)＝x.则取F(x)＝x²／2排除D.

故应选A.

填空题

4.∫_π／2^π／2(x³＋sin²x)cos²xdx＝________.

π／8

解析：因为x³cos²x为奇函数，所以∫_－π／2^π／2x³cos²xdx＝0，

∫_－π／2^π／2sin²xcos²xdx＝2∫₀^π／2sin²2x／4dx＝(1／2)∫₀^π／2[(1－cos4x)／2]dx＝π／8．

5.(d／dx)∫₀^xsin(x－t)²dt＝________.

sinx²

解析：∫₀^x sin(x－t)²dx

6.已知f(2)＝1／2，f’(2)＝0及∫₀²f(x)dx＝1，则∫₀¹x²f\\

0

解析：两次运用分部积分公式设t＝2x，则

∫₀¹x² f\\

7.∫₀¹

π／4

解析：

8.已知∫₀^xf(t)dt＝xf(ux)，且f(x)＝e^x，则

1／2

解析：把f(x)＝e代入得e^x－1＝xe^ax ，解得u＝[ln(e^x－1)／x]／x，则

<

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