考研数学三（定积分）模拟试卷4

考研数学三（定积分）模拟试卷4

选择题

1.设函数f(x)与g(x)在[0.1]上连续，且f(x)≤g(x)，则对任何c∈(0，1)________．(D)

A. ∫_1／2^cf(t)dt≥∫_1／2^cg(t)dt

B. ∫_1／2^cf(t)dt≤∫_1／2^cg(t)dt

C. ∫_c¹f(t)dt≥∫_c¹g(t)dt

D. ∫_c¹f(t)dt≤∫_c¹g(t)dt

解析：由定积分的不等式性质知，当c∈(0，1)时，∫_c¹f(t)dt≤∫_c¹g(t)dt.

故应选D.

2.设f(x)＝(B)

A. F(x)在x＝0点不连续

B. F(x)在(－∞，＋∞)内连续，在r＝0点不可导

C. F(x)在(－∞，十∞)内可导，且满足f’(x)＝f(x)

D. F(x)在(－∞，＋∞)内可导.但不一定满足f’(x)＝f(x)

解析：当x＜0时，F(x)＝∫₀^x(－1)dt＝－x；当x＞0时，F(x)＝∫₀^x1dt＝x；当x＝0时，F(0)＝0.即F(x)＝|x1，显然，F(x)在(－∞，＋∞)内连续，但在x＝0点不可导.

故应选B.

3.设f(x)是奇函数，除x＝0外处处连续，x＝0是其第－类间断点.则∫₀^xf(t)dt是________．(B)

A. 连续的奇函数

B. 连续的偶函数

C. 在x＝0间断的奇函数

D. 在x＝0间断的偶函数

解析：令F(x)＝∫₀^xf(t)dt，显然F(0)＝0，

故F(x)连续，排除选项C、D.

又因为F(－x)＝∫₀^－xf(t)dt

填空题

4.∫_－1¹

1／6

解析：由于x²ln[(2－x)／2＋x]为奇函数，所以∫_－1¹x²ln[(2－x)／2＋x]dx＝0，而

5.设f(x)＝

－1／2

解析：∫_1／2¹f(x－1)dx∫_－1／2¹f(t)dt＝∫_－1／2^1／2

6.∫₁^＋∞

π／2

解析：

7.∫_e^＋∞dx／xln²x＝________．

1

解析：原式＝∫_e^＋∞(lnx)^－2 dlnx＝－1／lnx｜_1e^＋∞

＝1.

故应填1.

解答题

8.设f’(x)＝∫₀²f(x)dx＝50，且f(0)＝0.f(x)≥0，求∫₀²f(x)dx及f(x).

在f’(x)∫₀²f(x)dx＝50两边对x从0到t积分，得(f(t)－f(0))∫₀²f(x)dx＝50t

由f(0)＝0，得f(t)∫₀²f(x)dx＝50t，两端对t从0到2积分，得

∫₀²f(t)dt．∫₀²f(x)dx＝∫₀²50tdt＝100.

由于f(x)≥0，则∫₀<

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