江苏省专转本（高等数学）模拟试卷59

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷59

综合题

1.试求由抛物线(y一2)²=x一1和与抛物线相切于纵坐标y₀=3处的切线以及x轴所围成图形面积。

抛物线(y一2)²=x一1，顶点在(1，2)，开口向右，切点纵坐标为3，则x坐标为2，则切线斜率为k=[*]，而y′=[*]，所以k=[*]，切线方程y一3=[*]，改写成x=2y一4，

S=∫³₀[(y—2)²+1—(2y—4)]dy=9

解析：

2.从半径为R的圆中切去怎样的扇形，才能使余下部分可卷成一漏斗，其容积为最大?

设余下部分的圆心角为φ时所卷成的漏斗容积V最大，漏斗的底半径为r，高为h，则2πr=Rφ，h=[*]，

V=[*]πr²h=[*]r²[*]，

V′=[*]，

r=[*]R此时φ=[*]，

即当余下的圆心角为φ=[*]时漏斗容积最大。

解析：

3.某工厂生产过程中，次品率与日生产量关系是y(x)=，其中x为正数，每生产一件产品可赢利A元，但生产一件次品要损失

设日生产量为x件，日利润为u元，则日次品数为xy件，日正品数为(x—xy)件，

因为当x≥50时次品率为1，为获最大利润故必0≤x<50。

于是日利润为u=A(x—xy)一[*]xy，(0≤x<50)

u′=A(1—y—xy′)—[*]—[*]

令u′=0，得y+xy′=[*]

将y=[*]代入，解得x=51±[*]，

即x≈42．8或x≈59．25，舍去x≈59．25．

比较U(0)=0，U(42)=166．4，u(43)=189．9的值，

故日生产量为43件时，获得最大盈利。

解析：

证明题

4.证明：函数f(x)=

因为[*]，所以[*]=0，又f(0)=0，所以函数f(x)在x=0处连续。

因为[*]=[*]=[*]，[*]=[*]=[*]，所以函数f(x)在x=0处不可导。

解析：

5.证明：当x>0时，(x²—1)lnx≥(x一1)。

令F(x)=lnx一[*]，显然，F(x)在(0，+∞)上连续。由于F′(x)=[*]，故F(x)在(0，+∞)上单调递增，于是，当0＜x＜1时，F(x)＜F(1)=0，即lnx＜[*]，又(x²一1)lnx＞(x一1)²，故(x²一1)lnx＞(x一1)²；当x≥1时，F(x)≥F(1)=0，即lnx≥[*]，又x²一1≥0，故(x²—1)lnx≥(x一1)^2</

解析：

选择题

6.设(C)

A. B. 2

C. 一2

D. 解析：

7.当x→0时，在下列变量中为无穷小量的是( )。(A)

A. e^x一1

B. C. D. 解析：选项A：(e^x一1)=0：

选项B：=1：

选项C：=e；

选项D：

8.∫⁴₁|x²—3x+2|dx的值为( )。(B)

A. B. C. D. 解析：∫⁴₁|x²—3x+2|dx=∫²₁(—x²+3x—2)dx+∫⁴₂(x²—3x+2)dx

=

9.下列说法不正确的是( )。(D)

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