江苏省专转本（高等数学）模拟试卷63
综合题
1.在直角坐标系的第一象限内作4x2+y2=1的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点坐标。
根据题意画出图形：
[*]
设切点为(x，y)=(x，[*])，由4x2+y2=1求导得：
8x+2y[*]=0，[*]=[*]，k=[*]=[*]
切线方程为y—[*]=[*]
令x=0得y=[*]+[*]=[*]
令y=0得x=X+[*]=[*]
则S(X)=[*]
求S(X)的最小值即求[*]的最大值，令F(X)=[*]
则F′(X)=[*]+X[*]=0，解得X=[*]唯一驻点．
所以切点坐标为[*]
解析：
2.某公司的甲、乙两厂生产同一种产品，月产量分别是x，y(千件)，甲厂的月生产成本是C1=x2一2x+5(千元)，乙厂的月生产成本是C2=y2+2y+3(千元)。若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最小，求甲、乙两工厂的最优产量和相应的最小成本。
本题为求函数z=f(x，y)=x2+y2一2x+2y+8在条件x+y一8=0下的条件极值。
方法一：用拉格朗日乘数法
总成本f(x，y)=x2+y2一2x+2y+8，
约束条件φ(x，y)=x+y一8，
作辅助函数F(x，y)=x2+y2一2x+2y+8+λ(x+y一8)，
令[*]，解得x=5，y=3，
由于驻点(5，3)唯一，实际中确有最小值。所以当x=5千件，y=3千件时使总成本最小，最小成本为f(5，3)=38千元。
方法二：化条件极值为无条件极值
总成本为z=f(x，y)=x2+y2一2x+2y+8，
约束条件x+y一8=0，
将y=8一x代入f(x，y)中，得
z=x2+(8一x)2一2x+2(8一x)+8
=2x2一20x+88
z′x=4x一20，令z′x=0，得x=5。
因为z″xx4>0，所以x=5时z取极小值，又因为极值点唯一，所以x=5时，z取最小值，此时y=3，故x=5千件，y=3千件时，总成本最小，最小成本为：f(5，3)=38千元。
解析：
3.把一根长为a的铅丝切成两段，一段围成圆形，一段围成正方形，问这两段铅丝各多长时，圆形面积与正方形面积之和最小。
设围成圆形的长度为x，面积设为S1，则围成正方形的长度为a一x，而面积记为S2，则S(x)=S1(x)+S2(x)=[*]+[*]
=[*]+[*]，(0≤x≤a)
S′(x)=[*]+[*](x—a)=0，得x=[*]
所以x=[*]时，圆形面积与正方形面积之和最小。
解析：
证明题
4.设f(x)在[a，b]上连续(a＜b)，且f(x)＞0，证明：
①令F(x)=[*]
根据积分上限函数的性质知，F(x)在[a，b]上连续且可导，
又F(a)=[*]+[*]=[*]＜0，(f(x)＞0)
F(b)=[*]+[*]=[*]＞0，(f(x)＞0)
所以由零点定理知，方程F(x)=0在(a，b)内至少有一实根。
②又F′(x)=f(x)+[*]>0，于是F(x)在(a，b)内单调递增，F(x)在(a，b)内
与x轴只有一个交点，即方程F(x)=0在(a，b)内只有一个实根，故由①、②知，方程[*]+[*]=0在(a，b)内有且仅有一个实根。
解析：
选择题
5.下列极限求解正确的是( )。(D)
A. 
B. 
C. 
D. 
解析：
xlnx=
=0，
=e—1，
当x→0时，
为有界函数，x为无穷小量，故其乘积也为无穷小。
=0，
=0，而sin(2x+1)有界，所以
6.函数y=
(B)
A. (一∞，+∞)
B. (一∞，一1)U(一1，+∞)
C. (0，+∞)
D. (一∞，0)
解析：y′=
7.定积分∫20|x一1|dx=( )。(D)
A.
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