江苏省专转本（高等数学）模拟试卷64

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷64

综合题

1.求y=(x一1)

(1)定义域x∈(一∞，+∞)

(2)y′=[*]+(x一1)[*]=[*]

(3)可能的极值点：令y′=0，得驻点x=[*]

y′不存在，得x=0

(4)列表

[*]

所以，函数在(一∞，0)、([*]，+∞)内单调增加，在(0，[*])内单调减少；函数在x=0点取到极大值y=0，在x=[*]处取到极小值y=[*]

解析：

2.已知曲线y=f(x)过原点且在点(x，y)处的切线斜率等于2x+y，求此曲线方程。

由题意得，y′=2x+y，y(0)=0，则变为求一阶线性非齐次微分方程特解，上式化为标准形式，y′一y=2x，代入求解公式，得

y=e^x(∫e^—xdx+C)=e^x(2∫e^—xdx+C)

=e^x(—2∫xde^x+C)=e^x(—2xe^—x+2∫e^—xdx+C)

=e^x(—2xe^—x—2e^—x+C)=—2(x+1)+Ce^x

把y(0)=0代上式，可得C=2，

所以上述微分方程特解为y=一2x一2+2e^x，即为所求曲线方程。

解析：

3.某地域人口总数为50万，为在此地域推广某项新技术，先对其中1万人进行了培训，使其掌握此项新技术，并开始在此地域推广。设经过时间t，已掌握此新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为k(k>0)，求x(t)。

令y=x(t)，由题意y′=ky(50—y)

y(0)=1

[*]=kdt，[*]=∫kdt，[*]dy=50∫kdt

lny—ln(50—y)=50kt+C，[*]=50kt+C

当t=0时，C=一ln49，特解为[*]=50kt—ln49

[*]=e^50kt.[*]，解得y=x(t)=[*]

解析：

证明题

4.设f(x)在[1，2]上具有二阶导数f″(x)，且f(2)=f(1)=0，如果F(x)=(x一1)f(x)，试证明至少存在一点ξ∈(1，2)，使F″(ξ)=0。

设G(x)=F(x)一(x一2)f(1)，则G(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，而G(1)=f(1)，G(2)=f(2)，于是由f(2)=f(1)=0知G(1)=G(2)。

由罗尔定理知在(1，2)内至少有一点ξ₁使G′(ξ₁)=0，即F′(ξ₁)=f(1)，

又由F′(x)=f(x)+(x一1)f′(x)知F′(1)=f(1)，

显然F′(x)=f(x)+(x—1)f′(x)在[1，ξ₁]上满足罗尔定理条件，

于是在(1，ξ₁)内至少有一点ξ使F″(ξ)=0，

即在(1，2)内至少有一点ξ使F″(ξ)=0。

解析：

选择题

5.已知连续函数f(x)满足f(x)=x²+(C)

A. f(x)=x²+x

B. f(x)=x²—x

C. f(x)=x²+D. f(x)=x²+解析：用代入法可得出正确答案为C。

6.函数f(x)=(B)

A. 连续但不可导

B. 连续且可导

C. 不连续也不可导

D. 可导但不连续

解析：=0

f(x)=f(x)=f(0)=0，则此分断函数在x=0处连续，

又=0，

=0，

则

7.关于y=(D)

A. x=kπ+B. x=0为可去间断点

C. x=kπ为第二类无穷间断点

D. 以上说法都正确

解析：f(x)=的间断点为x=kπ，kπ+，k∈Z

f(x)=0，所以x=kπ+本文档预览：3500字符，共8579字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载