江苏省专转本（高等数学）模拟试卷67
综合题
1.设f(x)在闭区间[0，1]上连续，在(0，1)内大于0，并满足xf′(x)=f(x)+3x2。若曲线y=f(x)与x=1，y=0所围成的图形S的面积为2，求y=f(x)。
由xf′(x)=f(x)+3x2，可得f′(x)一[*]f(x)=3x，所以p=[*]，
q=3x，
那么∫p(x)dx= 一lnx，，∫q(x)e∫p(x)dx=∫3x.[*]dx=3x，
所以f(x)=(3x+C)x=3x2+Cx。
由题意可得：S=∫10(3x2+Cx)dx=(x3+[*])|10
=1+[*]=2，所以C=2。
所以f(x)=3x2+2x。
解析：
2.设g(t)=
[*]
如图，画出积分区域，则
[*]f(x)dxdy=∫t0dx∫t0f(x)dy=∫t0tf(x)dx
即g(t)=[*]
(1)根据函数连续定义，满足[*]=[*]∫t0f(x)dx=0=g(0)=a，
所以a=0。
(2)当t≠0时，g′(t)=[*]=f(t)
t=0时，g′(0)=[*]=f(0)
所以，g′(t)=f(t)。
解析：
3.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销售收入z(万元)与电台广告费用z(万元)及报纸广告费用y(万元)之间有如下关系：
广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大因利润函数：L(x，y)=R(x，y)一C(x，y)
=15+14x+32y一8xy一2x2一10y2一(x+y)
=15+13x+31y一8xy一2x2一10y2
于是[*] 令[*]
得驻点[*]
又L″xx(x，y)= 一4，L″xy(x，y)= 一8，
L″yy(x，y)= 一20，故B2—AC=64一(—4)×(一20)= 一16<0，
又A= 一4<0，于是点(0．75，1．25)为极大值点，也是最大值点
即广告费用为0．75万元，报纸广告费用为1．25万元时，才能达到最优广告策略。
解析：
证明题
4.证明：当x>0时
<
<
证，(1)变形：[*]=ln(1+x)一lnx，这是对数函数的增量形式令f(t)=Int，t∈[x，1+x]。
(2)f(t)=Int在[x，1+x]应用拉格朗日中值定理：ln(1+x)一lnx=[*]
[*]
(3)[*]
故有[*]证毕！
解析：
5.设F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是
证：(1)F(x).G(x)=一1，
F′(x)G(x)+F(x)G′(x)=0
[*]f(x)G(x)+F(x)[*]=0。
[*]f(x)[*]+F(x)[*]=0。
[*]F2(x)=f2(x)。
(2)讨论，(i)若F(x)=f(x)，即
f(x)=f′(x)，[*]=1
lnf(x)=x+C1，f(x)=Cex
由f(0)=1，得C=1
故有f(x)=ex
(ii)若F(x)= 一f(x)，即f(x)=一f′(x)
[*]lnf(x)=一x+C2，f(x)=Ce—x
由f(0)=1，得C=1。
故有f(x)=e—x证毕。
解析：
选择题
6.已知∫f(x)dx=e2x+C，则∫f′(一x)dx=( )。(C)
A. 2e—2x+C
B. 
C. 一2e—2x+C
D. 
解析：原式两边分别求导得，f(x)=2e2x，再两边求导，得f′(x)=4e2x，则f′(—x)=4e—2x,∫f′(—x)dx=∫4e—2xdx= —2∫e2xd(—2x)= —2e—2x+C，故选C项。
7.在下列极限求解中，正确的是( )。(D)
A. 
B. 
C. 
D. 
解析：
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