江苏省专转本（高等数学）模拟试卷68

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷68

综合题

1.求曲线x=，y=，z=t²过点(

[*]=[*]，[*]=[*]，[*]=2t，

该点为t=1时的对应点，所以过该点切线方程的方向向量为S={[*]，—1,2}，

所求切线方程为：[*]=[*]=[*]。

法平面方程为：[*](x—[*])—(y—2)+2(z—1)=0。

即：2x—8y+16z一1=0。

解析：

2.从(0，0)作抛物线y=1+x²的切线，求：

[*]

设切点为(x₀，1+x₀²)，k=y′=2x₀，

则切线方程用y=2x₀x，那么1+x₀²=2x₀²，

所以x₀=±1，即切线方程为y=士2x，

S=2∫¹₀(1+x²—2x)dx=[*]=[*]，

V=[*]dy—[*]dy=[*]π—[*]=[*]。

解析：

3.甲、乙两村合用一变压器(如图)，若两村用同样型号线架设输电线，问变压器设在输电干 线何处时，用线最短?

设变压器所在地C距A处x公里，两村输电线总长为y，则

y=[*]+[*]，

y′=[*]+[*]，

令y′=0，则x[*]—(3—x)[*]=0。

移项，平方，整理得1．25x²+6x一9=0。

解得x=1．2，由于驻点唯一(负值舍去)。

故变压器放在距A地1．2 km处，所需电线最短。

解析：

证明题

4.证明：当|x|≤1时，|4x—x⁴|≤5成立。

令f(x)=4x—x⁴，则f′(x)=4—4x³=0，x=1，

所以f(一1)= 一4—1= 一5，f(1)=4—1=3。

故f_max(x)=3，f_min(x)= 一5，所以一5≤f(x)≤3。

那么|4x—x⁴|≤5成立。

解析：

选择题

5.在下列极限求解中，正确的是( )。(C)

A. B. C. D. 解析：===1，

根据洛必达法则可知=—1，

==.cos3x=

6.设y=f(x)可导，则f(x一2h)-f(x)等于( )。(B)

A. f′(x)h+0(h)

B. 一2f′(x)h+0(h)

C. 一f(x)h+0(h)

D. 2f′(x)h+0(h)

解析：

7.设函数f(x)的一个原函数为sin2x，则|f′(2x)dx=( )。(A)

A. cos4x+C

B. C. 2cos4x+C

D. sin4x+C

解析：根据函数的定义，f(x)=F′(x)=(sin2x)′=2cos2x，

f′(x)=一4sin2x，f′(2x)=一4sin4x，所以

∫f′(2x)dx=∫一4sin4xdx=cos4x+C。

8.设二重积分的积分域D是x²+y²≤1，则(A)

A. B. 4π

C. 3 π

D. 5π

解析：积分区域D如图所示：0≤r≤1，0≤θ≤2π，

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