江苏省专转本（高等数学）模拟试卷61

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷61

综合题

1.已知y=

由y=[*]，得函数的定义域为{x|x∈R，且x≠1)，y′=[*]，令y′=0得驻点x=0，x=3，这里x=1不能算作不可导点，因为它不在定义域内，

列表讨论(这里虽然不对x=1这点讨论，但是由于它是函数的间断点，把定义域分开了，所以在表中也单列出来)

[*]

由上表可得单调递增区间为(—∞，1)，(3，+∞)；单调递减区间为(1，3)，

极小值为f(3)=[*]，

由y′=[*]，继续得到y″=[*]，令y″=0得x=0，这里同样x=1也不能算作二阶不可导点，因为它不在定义域内。由于只有一个二阶导数等于零的点，所以这里就不需要列表讨论了，简单叙述一下即可

因为当x<0时，y″0时，y″>0，所以拐点为(0，0)

凹区间为(0，1)，(1，+∞)；凸区间为(一∞，0)，

对于渐近线，由于[*]=∞，所以x=1是一条垂直渐近线，

而[*]=∞，所以没有水平渐近线。

解析：

已知某曲线在(x，y)处的切线斜率满足y′=

2.求y=y(x)的曲线方程；

y′+[*]y=4x²，p=[*]，q=4x²，∫p(x)dx=[*]=lnx∫q(x)e^∫p(x)dxdx=∫4x²xdx=x⁴

y=[*]=x³+[*]，由y(1)=1，得C=0，∴y=x³。

解析：

3.求由y=1，曲线及y轴围成区域的面积；

S=[*]

解析：

4.上述图形绕y轴旋转所得的旋转体的体积。

V=[*]

解析：

证明题

5.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，0≤f′(x)≤1，求证：[∫¹₀f(x)dx]²≥∫¹₀f³(x)dx。

首先证明不等式

[*](0≤x≤1)，

令F(x)=[*]，

F′(x)=[*]

=[*]

再令φ(x)=2[*]f(t)dt—f²(x)则

φ′(x)=2f(x)一2f(x)f′(x)

=2f(x)[1一f′(x)]，

因为f(0)=0，f′(x)≥0，所以f(x)单增，当x≥0时，f(x)≥f(0)=0，

又0≤f′(x)≤1，于是φ′(x)≥0，由此φ(x)单增，当x≥0时，φ(x)≥φ(0)=0，

所以又有F′(x)≥0，由此F(x)单增，当x≥0时，F(x)≥F(0)=0，故F(1)≥0，

从而有[*]。

解析：

选择题

6.若f(x)= ∞，(D)

A. B. C. D. 解析：

7.下列函数在[—1，1]上满足罗尔定理条件的是( ) 。(C)

A. y=e^x

B. y=1+|x|

C. y=1—x²

D. y=1—解析：逐一验证：对于A项，y=e^x，e^—1≠e，不满足f(一1)=f(1)，选项B，y=1+|x|，在x=0处不可导，不满足，D项y=1一

8.设f(x)=x(x²—1²)(x²—2²)…(x²—n²)，则f′(0)=( ) 。(B)

A. (n！)²

B. (—1) ⁿ (n！) ²

C. n！

D. (—1)ⁿ n！

解析：令g(x)=(x²一1²)(x²一2²)…(x²一n²)

f(x)=x.g(x)

f′(x)=g(x)+xg′(x)

f′(0)=g(0)+0=(一1²)(一2²)……(一n²)=(一1)ⁿ(n!)²选B项。

注：本题用导数定义计算更方便！

9.设f(x)=alnx+bx²—3x在x=1，x=2取得极值，则a，b为( ) 。(B)

A. a=B. a=2，b=C. a=D. a= —2，b=本文档预览：3500字符，共9174字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载