江苏省专转本（高等数学）模拟试卷62

江苏省专转本（高等数学）模拟试卷62

综合题

1.求函数f(x)=x³一3x+1的单调区间和极值。

函数的定义域为(一∞，+∞)，

f′(x)=3x²一3，令f′(x)=0，得驻点x₁=一1，x₂=1，

列表得：

[*]

函数f(x)的单调增区间为(一∞，一1)和(1，+∞)，单调减区间为[一1，1]，f(一1)=3为极大值，f(1)=一1为极小值。

解析：

2.已知一平面图形由抛物线y=x²、y=一x²+8围成。

用定积分求面积和体积，如图，

[*]

(1)所围平面图形的面积为S=[*](8—x²—x²)dx=[*]

(2)此平面图形绕y轴旋转一周所成旋转体的体积为V= [*]+[*]=16π

解析：

已知某厂生产x件产品的成本C=25000+200x+

3.要使平均成本最小，应生产多少件产品?

设平均成本为y，则y=[*](25000+200x+[*]x²)，y′=[*]+[*]，令y′=0，得x=1000，此即为所求。

解析：

4.若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品?

设利润为L，则L=500x一(25000+200x+[*]x²)，L′=500—200一[*]x

令L′=0，得x=6000，此即为所求。

解析：

证明题

5.设x∈(0，1)，证明：(1+x)ln²(1+x)<x²。

原不等式等价于ln(1+x)<[*]，令F(x)=[*]—ln(1+x)，F(0)=0，

F′(x)=[*]，当x>0时，1+[*]＞[*]，

∴F′(x)>0，F(x)在x>0上严格单调上升，即F(x)>F(0)=0，即原不等式得证。

解析：

已知f(x)=

6.f(x)在x=0处可微；

∵[*]=0，,∴f(x)在x=0处可微。

解析：

7.f′(x)在x=0处不可微。

当x≠0时，f′(x)=[*]，因此结合结论(1)有

f′(x)=[*]

于是，我们可以计算一下f′(x)在x=0是否可微，

∵[*]不存在

所以f′(x)在x=0处不可微。

注：可微即可导。

解析：

选择题

8.函数f(x)=xsin(B)

A. 有定义但无极限

B. 无定义但有极限值0

C. 无定义但有极限值1

D. 既无定义又无极限值

解析：无定义是显然的，因为极限

9.若f(x)在x=a处可导，则(C)

A. mf′(a)

B. nf′(a)

C. (m+n)f′(a)

D. 解析：=

10.设f(x)的导函数连续，且是f(x)的一个原函数，则(D)

A. B. C. D. 解析：因为是f(x)的一个原函数，所以有f(x)=，

所以∫xf′(x)dx=∫xdf(x)=xf(x)—∫f(x)dx=—∫f(x)dx=—+C=+C

注：本题也是考试中常见的题型，有两点需要注意，一是根据已知条件求出f(x)，二是在求∫f(x)dx的时候不用再把求出的f(x)=本文档预览：3500字符，共9343字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载