全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷43

全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷43

单选题

1.已知向量α、β的模分别为｜α｜＝3，｜β｜＝(B)

A. π／2

B. π／4

C. π／3

D. π／6

解析：由α·β＝｜α｜·｜β｜cosΘ＝3×＝3，于是cosΘ＝

2.点P(2，－3，1)关于Oxz坐标面的对称点是（ ）(D)

A. (－2，3，－1)

B. (－2，－3，－1)

C. (2，－3，－1)

D. (2，3，1)

解析：设点P(2，－3，1)关于Oxz坐标面的对称点为P₀(x₀，y₀，z₀)，则x₀＝x，y₀＝－y，z₀＝z，故P₀(2，3，1)．

3.若直线（x－3）／－8＝y／2＝（z＋2）／m与平面4x－y＋3z＝4垂直，则m＝（ ）(A)

A. -6

B. 6

C. 34／3

D. －34／3

解析：直线的方向向量和平面的法向量分别为v＝{－8，2，m｝和n＝{4，－1，3｝．若直线与平面垂直，则v∥n，即－8／4＝2／－1＝m／3，故m＝－6．

4.设函数f(x，y)＝2x²－y²＋1，则点(0，0)（ ）(A)

A. 是f(x，y)的驻点但不是极值点

B. 是f(x，y)的极小值点

C. 是f(x，y)的极大值点

D. 不是f(x，y)的驻点

解析：f_x＝4x，f_y＝－2y，令f_x＝f_y＝0得x＝y＝0，因此(0，0)是驻点．由于A＝f_xx(0，0)＝4＞0，B＝f_xy(0，0)＝0，C＝f_yy(0，0)＝－2，△＝B²－AC＝8＞0，故(0，0)不是极值点．

5.已知函数f(x，y)在(0，1)处的偏导数存在，则(C)

A. f_x(0，1)

B. f_x(0，2)

C. 1／2f_x(0，1)

D. 2f_x(0，1)

解析：＝1／2

填空题

6.已知向量a＝｛0，－1，3｝和b＝｛1，－2，－1｝，则－2a＋b＝____________

｛1，0，－7｝

解析：－2a＋b＝－2{0，－1，3}＋{1，－2，－1}＝{0，2，－6)＋{1，－2，－1)＝{1，0，－7}．

7.设函数z＝lnxy，则全微分dz＝____________

1／xdx＋1／ydy

解析：函数z＝lnxy，则＝y／xy＝1／x，

8.设L是A(1，0)，B(0，1)之间的直线段，则I＝

[*]

解析：AB间的线段表示为x＋y＝1．

9.微分方程y〞＝x的通解y＝____________

1／6x³＋C₁x＋C₂（C₁，C₂为任意常数）

解析：y〞＝x，两边同时积分得yˊ＝1／2x²＋C₁，两边再同时积分得y＝1／6x³＋C₁x＋C₂．(C₁，C₂为任意常数)

10.无穷级数1－1／3＋1／5＋…＋（－1）ⁿ／2n＋1的和为____________

π／4

解析：由无穷级数的和形式，可联想到arctanx＝x－1／3x³＋1／5x⁵＋…＋（－1）ⁿ／2n＋1x^2n＋1＋…（－1≤x≤1），令x＝1得arctanl＝π／4＝1－1／3＋1／5＋…＋（－1）ⁿ／2n＋1＋…，即所要求的无穷级数的和为π／4．

计算题

11.求经过P(2，1，－3)，且通过y轴的平面π的方程

所求平面π通过y轴，故可设其方程为Ax＋Cz＝0，又因为点P在平面π上，所以2A－3C＝0，则A／C＝3／2，故所求平面方程为3x＋2z＝0．

解析：

12.求曲面z＝xy上点(1，2，2)处的法线方程

令F(x，y，z)＝z－xy，则

[*]

则法线方程为（x－1）／－2＝（y－2）／－1＝（z－2）／1．

解析：

13.设方程sin(x²＋y²＋z²)－xy＝1确定函数z＝z(x，y)，求

令F(x，y，z)＝sin(x²＋y²＋z²)－xz－1

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