2017年福建省专升本（高等数学）真题试卷

2017年福建省专升本（高等数学）真题试卷

综合题

1.求抛物线x=y²与直线x=y+2所围成的封闭图形的面积，以及该封闭图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积。

如图所示，解方程组[*]可得曲线x=y²和直线x=y+2的交点为(1，-1)和(4，2)，故所求封闭图形的面积

S=∫_-1²(y+2-y²)dy=[*]；

[*]

旋转体体积为

V=π∫_-1²[(y+2)²-y⁴]dy=π∫_-1²(y²+4y+4-y⁴)dy

=[*]

解析：

2.设函数f(x)=2x³-3kx²+1，k＞0．

(1)当k=1时，求f(x)在[0，2]上的最小值；

(2)若方程f(x)=0有3个实根，求k的取值范围．

(1)当k=1时，f(x)=2x³-3x²+1，f＇(x)=6x²-6x=6x(x-1)，

令f＇(x)=0，解得x=0或x=1，当x＜0或x＞1时，f＇(x)＞0，f(x)单调递增；当0＜x＜1时，f＇(x)＜0，f(x)单调递减．

故f(x)在[0，2]上的最小值为f(1)=0；

(2)f(x)=2x³-3kx²+1，f＇(x)=6x²-6kx=6x(x-k)．令f＇(x)=0，解得x=0或x=k．当x＞k或x＜0时，f＇(x)＞0，当0＜x＜k时，f＇(x)＜0，所以f(x)在(-∞，0)，(k，+∞)内单调递增，在(0，k)内单调递减，

又因f(-1)=-1-3k＜0，f(0)=1＞0，[*](2x³-3kx²+1)=+∞，

故若方程f(x)=0有3个实根，根据零点定理可知需满足f(k)＜0，

即f(k)=2k³-3k·k²+1=-k³+1＜0，所以k＞1．

解析：

选择题

3.设函数f(x)=(D)

A. 1

B. C. 2

D. 3

解析：f(x)=(x∈(1，+∞))，

则f^-1(x)=(x∈(2，+∞))，f^-1(3)=

4.下列极限计算正确的是 ( )

(C)

A.

B.

C.

D.

解析：

5.当x→∞时，函数f(x)与是等价无穷小量，则极限(C)

A. B. 1

C. 2

D. 4

解析：因为当x→∞时，f(x)与是等价无穷小量，所以

6.方程x³=1-x至少存在一个实根的开区间是 ( )(B)

A. (-1，0)

B. (0，1)

C. (1，2)

D. (2，3)

解析：设f(x)=x³+x-1，则f(-1)=-3＜0，f(0)=-1＜0，f(1)=1＞0，f(2)=9＞0，f(3)=29＞0，在4个选项区间中，只有f(0)f(1)＜0，由连续函数的零点定理可知，至少存在一点ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=0，即方程x³=1-x在区间(0，1)内至少存在一个实根．

7.若函数f(x)在[a，b]上可导，且f(a)=f(b)，则f＇(x)=0在(a，b)内 ( )(A)

A. 至少有一实根

B. 只有一个实根

C. 没有实根

D. 不一定有实根

解析：由题可知f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，故由罗尔定理可得至少存在一点ξ∈(a，b)，使f＇(ξ)=0，即f＇(x)=0在(a，b)内至少有一实根．

8.若函数f(x)在点x₀处取得极大值，则必有 ( )(D)

A. f＇(x₀)=0

B. f＂(x₀)＜0

C. f＇(x₀)=0且f＂(x₀)＜0

D. f＇(x₀)=0或f＇(x₀)不存在

解析：极值点可能是驻点，也可能是不可导点，故若f(x)在点x₀处取得极大值，则f＇(x_{本文档预览：3500字符，共8331字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载}