全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷52

全国自考公共课高等数学（工本）模拟试卷52

单选题

1.点P(2，一3，1)关于Oxz坐标面的对称点是 ( )(D)

A. (一2，3，一1)

B. (一2，一3，一1)

C. (2，一3，一1)

D. (2，3，1)

解析：设点P(2，-3，1)关于Oxy坐标面的对称点为P₀ (x₀，y₀，z₀)，则x₀=x，y₀=-y，z₀=z，故P₀ (2，3，1)．

2.记(D)

A. I₂＜I₃＜I₁

B. I₁＜I₂＜I₃

C. I₂＜I₁＜I₃

D. I₃＜I₂＜I₁

解析：由在D₁上(等号仅在圆周x²+y²=1上取到)知，I₁＞0；由在D₂上-1≤

3.y\\(B)

A. sin(一x)

B. 一sin(一x)+C₁x+C₂

C. 一sin(一x)

D. sin(一x)+C₁x+C₂

解析：对方程两边积分得y’=cos(一x)+C₁，对方程两边积分得y=一sin(一x)+C₁x+C₂，即为原方程的通解．

4.微分方程x³y²dx一(2y+xysinx)dy=0是 ( )(A)

A. 可分离变量微分方程

B. 一阶线性齐次微分方程

C. 一阶线性非齐次微分方程

D. 齐次微分方程

解析：

5.设无穷级数(B)

A. P>1

B. p<一1

C. P<1

D. p>一1

解析：无穷级数

填空题

6.Oxy平面上的抛物线y²＝4x绕其对称轴旋转所得的旋转曲面的方程是____________

y²＋z²＝4x

解析：Oxy平面上的抛物线y²＝4x的对称轴为x轴，因此所求旋转曲面方程为

7.微分方程xdy＝(x＋y²／x＋y)dx的通解为____________

arctany／x＝lnx＋C

解析：原方程可化为dy／dx＝1＋y²／x²＋y／x．令u＝y／x，则y＝ux，dy／dx＝u＋du／dx．故u＋xdu／dx＝1＋u²＋u．分离变量积分得

8.微分方程ydx－xdy＝0的通解为____________

y＝Cx(C为任意常数)

解析：ydx－xdy＝0，即dy／y＝dx／x两边同时积分得lny＝lnx＋lnC即y＝Cx．(C为任意常数)

9.若

[*]．

解析：本题考查函数的偏导数．

10.微分方程y\\

C₁sin2x＋C₂cos2x

解析：y\\

计算题

11.求方程y〞－4yˊ＋4y＝0的通解

y〞－4yˊ＋4y＝0的特征方程为r²－4r＋4＝0，其特征根为r₁＝r₂＝2，故所求特解为y＝（C₁＋C₂x）e^2x．

解析：

12.已知级数收敛，证明级数

[*]＝｜a_n／n｜≤1／2（a_n²＋1／n²），由于级数[*]均收敛，故原级数绝对收敛．

解析：

应用通项求导或逐项积分，求下列幂级数的和函数

13.x²／2＋x⁴／4＋…＋x²ⁿ／2n＋…；

设u_n＝x²ⁿ／2n，故[*]｜u_n＋1／u_n｜＝x²，则当｜x²｜＜1时原级数收敛，故原级数的收敛半径为R＝1，当x＝±1时，则原级数可化为[*]1／2n，故其发散，故原级数的收敛域为（－1，1）设S(x)[*]x²ⁿ／2n，在x∈（－1，1），内逐项求导得Sˊ(x)＝[*]x^2n－1＝1／1－x²故S(x)＝[*]＝－1／2ln（1－x²

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