陕西省专升本（高等数学）模拟试卷12

陕西省专升本（高等数学）模拟试卷12

证明题

1.当0＜x＜1时，证明不等式：

设f(x)=1一x一(1+x)e^-2x (0≤x≤1)

f’(x)=一1+(1+2x)e^-2x

f’’(x)=一4xe^-2x

∵在(0，1)内f’’(x)＜0 ∴在[0，1]上f’(x)单调递减

即在[0，1]上有f’(x)＜f’(0)=0

又∵在(0，1)内，f’(x)＜0，∴在[0，1]上f(x)为单调递减

即在[0，1]上有f(x)＜f(0)=0

从而在(0，1)内，有f(x)＜0

即 1一x＜(1+x)e^-2x

即[*]＜e^-2x

解析：

2.在xOy面上求一点，使它到x=0，y=0，x+2y一16=0三直线的距离平方和为最小．

xOy面上点(x，y)到三直线的距离分别为｜x｜，｜y｜，[*]

故目标函数为f(x，y)=x²+y²+[*](x+2y—16)²，

解方程组[*]

可得驻点[*]，由于最小值一定存在，且又有唯一驻点，故其必为最小值点，

即[*]为所求．

解析：

选择题

3.设积分区域D：x²+y²≤2，则二重积分(D)

A. 一4π

B. 一2π

C. 2π

D. 4π

解析：

4.设曲线L的方程是x=acost，y=bsint(a＞0，b＞0，0≤t≤2n)，则曲线积分(A)

A. 0

B. πa³b³

C. πa²b³

D. πa³b²

解析：

5.微分方程y’’一3y’+2y=0的通解为(D)

A. C₁e^-x+C₂e^-2x

B. C₁e^x+C₂e^-2x

C. C₁e^-x+C₂e^2x

D. C₁e^x+C₂e^2x

解析：

6.已知y=1，y=x和y=x²是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为y=(A)

A. C₁(x一1)+C₂(x²一1)+1

B. C₁x²+C₂x+C₃

C. C₁x²+C₂x+1

D. C₁(x一1)+C₂(x²—1)

解析：

7.下列无穷级数中，条件收敛的级数是

(B)

A.

B.

C.

D.

解析：

填空题

8.设函数f(x)=2x+1+o(x)，且f(0)=1，则f’(0)=______．

2

解析：

9.已知函数

[*]

解析：

10.极限

1

解析：

11.极限

[*]

解析：

12.已知函数f(x)=ln(2+x)，则f⁽³⁾(0)=______．

[*]

解析：

解答题

13.求不定积分

原式[*]

解析：

14.已知函数f(x)为可导函数，并且f(x)＞0，满足方程f²(x)=16+∫₀^x

两边求导有 2f(x)f’(x)=[*]

∵f(x)≠0．∴f’(x)=[*]

两边积分有 [*]

又∵ f(0)=4 [*]

解析：

15.设φ(x)在(一∞，+∞)内为正值连续函数，若f(x)=∫_-c^c｜x一u｜φ(u)du(｜x｜≤c，c＞0)，试证曲线y=f(x)在[一c，c]上是凹的．

f(x)=∫_-c^c｜x一u｜φ(u)du

=∫_-c^x(x一u)φ(u)du+∫_x^c(u一x)φ(u)du

=x∫_-c^xφ(u)du-∫_-c^xuφ(u)du+∫_x^cuφ(u)du-x∫_x^cφ(u)du

f’(x)=∫_-c^xφ(u)du一∫_{x本文档预览：3500字符，共5546字符，源文件无水印，下载后包含无答案版和有答案版，查看完整word版点下载}