陕西省专升本（高等数学）模拟试卷13

陕西省专升本（高等数学）模拟试卷13

证明题

1.考虑函数y=x²，0≤x≤1，问

S₁=t³一∫₀^t2dx=[*]t³

S₂=∫₀¹x²dx-(1-t)t²=[*]

[*]

S=S₁+S₂=[*] (0≤t≤1)

S’(t)=4t²—2t=0，得(0，1)内驻点[*]

[*]

∴当[*]时，S=S₁+S₂最小；

当t=1时，S=S₁+S₂最大．

解析：

2.对任意的x₁，x₂∈(一∞，+∞)，证明不等式 ｜sinx₁—sinx₂｜≤｜x₁一x₂｜．

当x₁=x₂时，显然成立

[*]

而f’(ξ)=cosξ，｜cosξ｜≤1

从而[*] 即｜sinx₁一sinx₂｜≤｜x₁—x₂｜．

解析：

3.设函数f(x)在[a，b]上连续，函数g(x)在[a，b]上可积，且g(x)＞0，证明存在ξ∈[a，b]，使得∫_a^bf(x)g(x)dx=f(ξ)∫_a^bg(x)dx．

∵f(x)在[a，b]上连续

∴f(x)在[a，b]上取得最大值M和最小值m，

即m≤f(x)≤M，故有∫_a^bmg(x)dx≤∫_a^bf(x)g(x)dx≤∫_a^bMg(x)dx．

即 m∫_a^bg(x)dx≤∫_a^bf(x)g(x)dx≤M∫_a^bg(x)dx

又g(x)＞0，所以∫_a^bg(x)dx＞0，

故[*]

由闭区间上连续函数的介值定理知存在ξ∈[a，b]，

使[*]

从而 ｜f(x)g(x)dx=f(ξ)｜g(x)dx．

解析：

选择题

4.设方程确定函数y=y(x)，则

(B)

A.

B.

C.

D.

解析：

5.函数f(x)=arctanx—x在其定义域内(B)

A. 为单调增加函数

B. 为单调减少函数

C. 有极大值

D. 有极小值

解析：

6.函数y=xe^-x在[一1，2]上的最大值或最小值正确的是(D)

A. 最小值为e^-1

B. 最小值为0

C. 最大值为2e^-2

D. 最大值为e^-1

解析：

7.过点(2，一1，3)，并且与直线(C)

A. 3x一4y+3z—19=0

B. 3x一4y一3z一1=0

C. x+y—5=0

D. x—z+1=0

解析：

8.设函数f(x，y)=｜xy｜，则点(0，0)是f(x，y)的(C)

A. 间断点

B. 最大值点

C. 最小值点

D. 驻点

解析：

填空题

9.过点(一1，2，0)并且与平面x+y+2z一3=0垂直的直线方程为______．

[*]

解析：

10.设D是第一象限中由曲线y=x²，x+y一2=0和y=0所围成的区域，则二重积分

[*]

解析：

11.设二次积分I=∫₁²dx

∫₀¹dy [*]f(x，y)dx

解析：

12.二重积分∫₀¹dx∫_x¹e^y2dy=______．

[*]

解析：

13.设L是连接点(2，0)及(0，2)的直线段，则曲线积分∫_L(x+y+1)ds=______．

[*]

解析：

14.幂级数

2

解析：

解答题

15.求极限：

原式 [*]

解析：

16.求极限

[*]

<

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