专升本高等数学一（解答题）模拟试卷1

专升本高等数学一（解答题）模拟试卷1

简单解答题

1.求极限

由于x→0时，xcotx=[*]→1，故原极限为[*]型，所以

[*]

解析：

2.求极限

[*]

原式=[*]．

解析：

3.证明方程4x=2^x在区间(0，

令f(x)=4x一2^x，f(0)=一1＜0，[*]＞0，由连续函数的零点定理可知至少存在一点C∈(0，[*])使得f(c)=0，即方程4x=2^x在(0，[*])内至少有一个根．

解析：

4.求曲线

[*]

则根据点斜式求得切线方程为y=a+[x一a[[*]一1)]=x－[*]+2a．

解析：

5.设y=y(x)由所确定，求

[*]，由隐函数求导

[*]

解析：

6.计算lnl．01的近似值．

由微分定义可知f(x+△x)=f(x)+f^’(x)△x，令f(x)=lnx，则ln1．01=f(1．01)=f(1)+f^’(1)．0．01=0+1．0．01=0．01．

解析：

7.设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)．证明：若f(x)不恒为常数，则至少

因为f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数．

所以至少存在x₀∈(a，b)，使f(x₀)≠f(a)，则f(x₀)＞f(a)或f(x₀)＜f(a)．

不妨设f(x₀)＜f(a)，则在[x₀，b]上用拉格朗日中值定理得．

至少存在ξ∈[(x₀，b)∈(a，b)，有f^’(ξ)=[*]＞0．

对于f(x₀)＞f(a)情形同理可证．

解析：

8.设一物体下端为直圆柱，上端为半球形，如果此物体的体积为V，问这物体的尺寸各是多少时，才能使其表面积最小?

设底面半径为r，圆柱高为h，则V=πr²h+[*]πr³，S=3πr²+2πrh，

[*]

经验证其为极小值点，在此问题中也为最小值点，r代入h中解得h=[*]，所以底面半径和直圆柱的高均为[*]时，S有最小值．

解析：

9.求∫ln(1+x²)dx．

∫ln(1+x²)dx=xln(1+x²)一[*]

=xln(1+x²)一[*]

=xln(1+x²)一2(x—arctanx)+C．

解析：

10.求

[*]

解析：

11.设z=μ²ν一μν²，而μ=xcosy，ν=xsiny，求

由于[*]

所以

[*]=(2μν一ν²)cosy+(μ²一2μν)siny

=(2x²cosysiny—x²sin²y)cosy+(x²cos²y一2x²cosysiny)siny

=2x²sinycos²y—x²sin²ycosy+x²sinycos²y一2x²sin²ycosy

=3x²sinycosy(cosy—siny)．

[*]=(2μν一ν²)(一xsiny)+(μ²一2μν)xcosy

=(2x²cosysiny—x²sin²y)(一xsiny)+(x²cos²y一2x²cosysiny)xcosy

=一2x³sinycosy(siny+cosy)+x³(siny+cosy)(sin²y—sinycosy＋cos²y)

=x³(siny+cosy)(1—3sinycosy)．

解析：

12.求

令y^’=p，y^’’=[*]－p=0，分离变量得[*]，两边积分得ln｜p｜=ln｜y｜+ln｜C₁｜即p=C₁y，即y^’=C₁y，再分离变量得[*]dy=C₁dx，两边积分得ln｜y｜=C₁x+C，即通解y=C₂e^C₁x，其中C₁，C₂为任意常

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