专升本高等数学一（解答题）模拟试卷4

专升本高等数学一（解答题）模拟试卷4

简单解答题

1.计算

[*]=一1．

解析：

2.求极限

这是“1^∞”型未定式．

[*]

解析：

3.设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)．证明：若f(x)不恒为常数，则至少

因为f(a)=f(b)，且f(x)不恒为常数．

所以至少存在x₀∈(a，b)，使f(x₀)≠f(a)，则f(x₀)＞f(a)或f(x₀)＜f(a)．

不妨设f(x₀)＜f(a)，则在[x₀，b]上用拉格朗日中值定理得．

至少存在ξ∈[(x₀，b)∈(a，b)，有f^’(ξ)=[*]＞0．

对于f(x₀)＞f(a)情形同理可证．

解析：

4.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)=0，

令F(x)=f(x)一x，

则有F(0)=f(0)一0=0，

F(1)=f(1)一1=一1＜0，

[*]＞0．

又F(x)在[[*]，1]上连续，故由零点定理知，存在η∈([*]，1)，

使F(η)=0，在[0，η]上利用罗尔定理知，至少存在ξ∈(0，η)[*](0，1)，使F^’(ξ)=0，f^’(ξ)=1．

解析：

5.求

[*]

解析：

6.求

由dy=[*]，

而t=1时，y=a，x=∫₀¹[*]，

故切线方程为y一a=[*]x．

解析：

7.计算

[*]

解析：

设f是(一∞，+∞)内的连续奇函数，且单调增加，F(x)=∫₀^x(x一2t)f(t)dt，证明：

8.F(x)是奇函数；

F(一x)=∫₀^－x(一x一2t)f(t)dt[*]－∫₀^x(一x+2μ)f(一μ)dμ=－∫₀^x(x一2μ)f(μ)dμ=一F(x)，所以F(x)为奇函数．

解析：

9.F(x)是[0，+∞)内的单调递减函数．

F(x)=x∫₀^xf(t)dt一2∫₀^xtf(t)dt，故

F^’(x)=∫₀^xf(t)dt—xf(x)

=xf(ξ)一xf(x)

=x[f(ξ)一f(x)]＜0，(ξ∈(0，x))

所以F(x)为[0，+∞)内的单调递减函数．

解析：

10.计算∫₀¹dy∫_y¹y²

由于被积函数先对x积分不易计算，故选择改变积分次序．积分区域为｛(x，y)｜y≤x≤1，0≤y≤1｝，也可为｛(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x｝，

原式=∫₀¹dx∫₀^xy²[*]dy=∫₀¹[*]dx

=[*]

解析：

11.计算

L为顺时针方向，即为反向，故

[*]x³dy—y³dx=一[*]

=－3[*]x²一(一y²)dxdy

=一3∫₀^2πdθ∫₀^ar²．rdr=[*]．

解析：

12.求∫_L(y－x)ds，其中L：y=｜1一x｜—x；0≤x≤2．

当0≤x≤1时，y=1一x—x=1—2x当1≤x≤2时，y=x－1一x=一1．

∫_L(y－x)ds=∫₀¹(1－2x)一x][*]+∫₁²(－1－x)[*]=[*]．

解析：

13.求y^’’一2y^’+y=x³的特解．

对应的齐次方程的特征方程为r²一2r＋1=0，解得r=1，为二重根，故λ=0不是特征方程的根．

由f(x)=x³，设特解为y=Ax³+Bx²＋Cx+D，则

y^’=3Ax²+2Bx＋C，y^’’=6Ax＋2B，

代入原方程得

6Ax＋2B一2(3Ax²＋2Bx+C)＋Ax³+Bx²+Cx＋D

=Ax³+(B一6A)

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