专升本高等数学一（解答题）模拟试卷5

专升本高等数学一（解答题）模拟试卷5

简单解答题

1.求

[*]型，使用洛必达法则．

[*]=0．

解析：

2.求极限

[*]=lne=1．

解析：

3.求极限

[*]=e．

解析：

4.设函数y=alnx+bx²+5x在x=1处取极值且x=

y^’=[*]＋2bx+5，y^’’=[*]+2b，又有已知条件可得y^’(1)=a+2b+5=0，y^’’([*])=—4a+2b=0，联立解得a=一1，b=一2．

解析：

5.利用拉格朗日中值定理证明：当x＞1时，e^x＞ex．

令f(μ)=e^μ，μ∈[1，x]．容易验证f(μ)在[1，x]上满足拉格朗日中值定理的

条件，故存在ξ∈(1，x)，使

[*]=f^’(ξ)，

即[*]=e^ξ，

因为ξ∈(1，x)，所以e^ξ＞e．即[*]＞e，整理得，当x＞1时，e^x＞ex．

解析：

6.设a＞b＞0，n＞1，证明：nb^n－1(a一b)＜aⁿ一bⁿ＜na^n－1(a一b)．

构造函数f(x)=xⁿ(n＞1)，

因为f(x)=xⁿ在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，

所以，存在一点ξ∈(a，b)使得f^’(ξ)=[*]=nξ^n－1，

又0＜a＜ξ＜b，故a^n－1＜ξ^n－1＜b^n－1，所以na^n－1＜nξ^n－1＜nb^n－1，即na^n－1＜[*]＜nb^n－1，

整理得na^n－1(b一a)＜bⁿ一aⁿ＜nb^n－1(b一a)．

两边取负号得nb^n－1(a一b)＜aⁿ一bⁿ＜na^n－1(a一b)．

解析：

已知函数f(x)=

7.证明：当x＞0时，恒有f(x)+

[*]

则可知F(x)=C，C为常数．

当x=1时，F(1)=C=f(1)+f(1)=[*]，

故当x＞0时，F(x)=f(x)+[*]恒成立；

解析：

8.试问方程f(x)=x在区间(0，+∞)内有几个实根?

令g(x)=f(x)一x，则g^‘(x)=[*]一1＜0，

故g(x)在(0，+∞)上单调递减，又

[*]

则g(x)=0在(0，+∞)上有且仅有一个实根，即f(x)=x在(0，+∞)上只有一个实根．

解析：

9.一艘轮船甲以20海里／小时的速度向东行驶，同一时间另一艘轮船乙在其正北82海里处以16海里／小时的速度向南行驶，问经过多少时间后，两船相距最近?

设经过t小时两船相距S海里，则S=[*]，

即S²=(82—16t)²+(20t)²，

所以(S²)^’=2．(82—16t)．(一16)+2．20t．20，

令(S²)^’=0，得驻点t=2，即经过两小时后两船相距最近．

[*]

解析：

10.将长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形，问这两段铁丝各长多少时，正方形与圆形面积之和最小．

设正方形长度为x，则圆形周长为a一x．那么正方形边长为[*]，则圆形半径为[*]．

它们的面积之和S=[*]，

S^’=[*]，

令S^’=0，则有唯一驻点x=[*]，即当x=[*]时，S取得最小值．

因此，[*]．

解析：

11.设D为曲线y=x²与直线y=x所围成的有界平面图形，求D绕x轴转一周所得旋转体的体积V．

由[*]可解得两曲线的交点为(0，0)，(1，1)．

旋转体的体积V=∫₀¹π[x²一(x²)²]dx=[*]．

解析：

12.设f(x—y，x+y)=x²一y²，证明

f(x—y，x+y)=x²一y²=(x+y)(x—y)，故f(x，y)=xy．[*]=x+y．

解析：

13.求y^’’一2y^’+y=x³的特解．

对应的齐次方程的特征方程为r²一2r＋1=0，解得r=1，为二重根，故λ=0不是特征方程的根．

由f(x)=x³，设特解为y=Ax³+Bx²＋Cx+D，则

y^’=3Ax²+2Bx＋C，y^’’=6Ax＋2B，

代入原方程得

6Ax＋2B一2(3Ax²＋2Bx+C)＋Ax<

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