专升本高等数学一（解答题）模拟试卷9

专升本高等数学一（解答题）模拟试卷9

简单解答题

1.求极限

[*]．

解析：

2.求极限

这是“1^∞”型未定式．

[*]

解析：

3.设y=e^x．cos³x．lnx，求y^’．

对y=e^x．cos³x．lnx两边取对数得lny=x+3ln(cosx)＋ln(lnx)，

两边对x求导得[*]，解得y^’=[*]．

解析：

4.求曲线

[*]

则根据点斜式求得切线方程为y=a+[x一a[[*]一1)]=x－[*]+2a．

解析：

5.设f(x)在x=1处有连续导数，且f^’(1)=2，求

[*]

解析：

6.设函数y=alnx+bx²+5x在x=1处取极值且x=

y^’=[*]＋2bx+5，y^’’=[*]+2b，又有已知条件可得y^’(1)=a+2b+5=0，y^’’([*])=—4a+2b=0，联立解得a=一1，b=一2．

解析：

7.设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1，试证明对任意给定的正数a及b，在(0，1)内必存在不相等的x₁，x₂，使

因a，b＞0，故0＜[*]＜1，又因f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，由介值定理，必存在ζ∈(0，1)，使f(ζ)=[*]．

又分别在[0，ζ]，[ζ，1]上用拉格朗日中值定理，得

f(ζ)一f(0)=(ζ一0)f^’(x₁)，

f(1)一f(ζ)=(1一ζ)f^’(x₂)(其中0＜x₁＜ζ＜x₂＜1)

即有

[*]=1－ζ．

考虑到1－[*]，并将上两式相加，得

[*]=1，

即存在不相等的x₁，x₂使[*]=a+b．

解析：

8.求

[*]

解析：

9.求∫₀^＋∞xe^－xdx．

∫₀^＋∞xe^－xdx=－∫₀^＋∞xde^－x=－(xe^－x｜₀^＋∞－∫₀^＋∞e^－xdx)

=－(xe^－x｜₀^＋∞＋e^－x｜₀^＋∞)=－xe^－x｜₀^＋∞－e^－x｜₀^＋∞

=－(0－0)－(0－1)=1．

解析：

10.求定积分∫₀¹e^xsinxdx．

∫₀¹e^xsinxdx=∫₀¹sinxde^x=e^xsinx｜₀¹一∫₀¹e^xd(sinx)=esin1一∫₀¹e^xcosxdx

=esin1一∫₀¹cosxde^x=esin1—e^xcosx｜₀¹+∫₀¹e^xd(cosx)

=esin1－ecos1+1－∫₀¹e^xsinxdx．

从而∫₀¹e^xsinxdx=[*](esin1—ecos1+1)．

解析：

11.计算

由题意可知

[*]y²e^xydσ=∫₀¹dy∫₀¹y²e^xydx=∫₀¹(ye^y－y)dy=[*]．

解析：

12.计算对坐标的曲线积分I=∫_L(x²+y)dx+(x－siny)dy，其中L是圆周y=

P=x²+y，Q=x—siny，

因为[*]，所以曲线积分与路径无关，故可选择从(0，0)→(1，0)→(1，1)，则

I=∫

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